第三讲-数列求和专题讲义（解析版）-2022-2023高二下学期人教A版.docx

第三讲 数列求和

问题层级图

目标层级图

课前检测（10mins）

1.已知,求数列的前项和.

【答案】

【解析】

即+

即

2.已知,求数列的前项和.

【答案】

【解析】∵

∴

3.已知,求数列的前项和.

【答案】

【解析】

∴

∴

∴

课中讲解

一.会判断并解决分组法求和LV.4

适用于通项公式为“等差+等比”或“等比+等比”等形式的数列,可使用分组法求和.

例1:

已知等比数列满足,.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）若,求数列的前项和公式.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,则由,得:

,两式相比,解得,

∴数列的通项公式为:

（Ⅱ）

易知数列是以为首项,以为公比的等比数列

所以的前项和

例2:

设等差数列的前项和为,公差,,已知成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设,求数列的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）依题意,

解得

因此,即

（Ⅱ）依题意,

过关检测（10mins）

1.在等差数列中,.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设,求数列的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为,因为,解得

所以数列的通项公式为,即

（Ⅱ）

因为数列是首项为,公差为的等差数列

数列是首项为,公比为的等比数列

所以

化简得

2.已知数列是等比数列,满足,数列满足,且是等差数列.

（Ⅰ）求数列和的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】,;

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,由题意得,解得

所以

设等差数列的公差为

所以

即

解得

所以

从而

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

数列的前项和为,数列的前项和为

所以数列的前项和为

二.会判断并解决裂项相消法求和LV.4

把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项:

（1）,;

（2）,;;

（3）若是公差为的等差数列,则;

适用于分式且分组是乘积的形式,可使用裂项相消求和.例如

例1:

已知数列是公差不为0的等差数列,若,且成等比数列.

（Ⅰ）求的通项公式;

（Ⅱ）若,求数列的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设的公差为

因为成等比数列,所以

即,即

又,且,解得

所以有

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:

则

即

例2:

已知等差数列的首项,公差,前项和为,且.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）求证:.

【答案】;略

【解析】（Ⅰ）因为等差数列中,,公差

所以

则

（Ⅱ）因为

所以

所以

过关检测（10mins）

1.已知数列是公差不为的等差数列,,且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设数列的前项和为,求证:.

【答案】;略

【解析】（Ⅰ）设的公差为

因为成等比数列,所以,即

化简得,即

又,且,解得

所以有

（Ⅱ）由（Ⅰ）得:

所以

因此,

2.数列的前项和为,且满足.

（Ⅰ）求与的关系式,并求的通项公式;

（Ⅱ）求和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）;两式相减得:

（Ⅱ）

三.会判断并解决错位相减法求和LV.4

针对数列或的数列求和应用此法,其中是等差数列,是等比数列.

例1:

已知数列的前项和.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）若数列满足,,

（i）证明:数列为等差数列; （ii）求数列的前项和.

【答案】;略,

【解析】（Ⅰ）因为数列的前项和

所以

因为时,,也适合上式

所以

（Ⅱ）（i）证明:当时,,将其变形为,即

所以数列是首项为,公差为2的等差数列

（ii）解:由（i）得,

所以

因为

所以

两式相减得

整理得

过关检测（10mins）

1.已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.

（Ⅰ）求和的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【答案】,;

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为,等比数列的公比为

由已知,得,而,所以

又因为,解得

所以,

由,可得①

由,可得②

联立①②,解得,,由此可得

所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为

（Ⅱ）解:设数列的前项和为

由,,有

故

上述两式相减,得

得

所以,数列的前项和为

课后练习

补救练习（20mins）

1.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）若数列满足,求的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为

∵是和的等差中项

∴

∴

∴

（Ⅱ）

2.已知等比数列满足,.

（Ⅰ）求的通项公式及前项和;

（Ⅱ）设,求数列的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为

因为,且

所以,得

又因为,所以,得,

所以

所以

（Ⅱ）因为,所以

所以

所以数列的前项和

巩固练习（20mins）

1.已知等差数列的通项公式为,各项都是正数的等比数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】;

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为

解得,所以

（Ⅱ）等差数列的前项和为

等比数列的前项和为

所以数列的前