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求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法

1、累加法适用于：a ?a ?f(n)

n?1 n

a ?a

2 1

?f(1)

若a ?a

?f(n)(n?2)，则a

?a ?f(2)

32

3

n?1 n

L L

a ?a ?f(n)

n?1 n

两边分别相加得a

a

n?1 1

??n

k?1

f(n)

例1已知数列{a

n

}满足a

n?1

?a ?2n?1，a

n 1

?1，求数列{a

n

}的通项公式。

解：由a ?a ?2n?1得a ?a ?2n?1则

n?1 n n?1 n

所以数列{a

n

}的通项公式为a

n

?n2。

例2已知数列{a

n

}满足a

n?1

?a ?2?3n?1，a

n 1

?3，求数列{a

n

}的通项公式。

解法一：由a ?a ?2?3n?1得a ?a ?2?3n?1则

n?1 n n?1 n

a ?(a

n n

a

n?1

)?(a

n?1

a

n?2

)?L?(a

3

?a)?(a

2 2

a)?a

1 1

?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)?L?(2?32?1)?(2?31?1)?3

?2(3n?1?3n?2?L?32?31)?(n?1)?3

?23(1?3n?1)?(n?1)?31?3

?3n?3?n?1?3

?3n?n?1

所以a

n

?3n?n?1.

解法二：a

?3a

?2?3n

?1两边除以

3n?1，得a?1

? n?2? 1 ，

则a

则

n?1

n?1

a?a

a

?

n

n

n?2? 1 ，故

n

3n?1 3n 3 3n?1

3n?1 3n

3 3n?1

1

因此a

2(n?1) 3n

(1?3n?1)

2n 1 1 ，

n? ? ?1? ? ?

3n 3 1?3 3 2 2?3n

2 1 1则a ? ?n?3n? ?3n? .

2 1 1

n 3 2 2

2、累乘法适用于：a ?f(n)a

n?1 n

若a

若

n?1

?f(n)

，则a

2?f(1)，3?f(2)，LL，n?1?f(n)

a aa a a a

a a

n 1 2 n

两边分别相乘得，a

n?1?a

??n

f(k)

a 1

1 k?1

例3已知数列{a

}满足a

?2(n?1)5n?a，a

?3，求数列{a

}的通项公式。

n n?1 n 1 n

解：因为a

?2(n?1)5n?a，a

?3，所以a

?0，则an?1?2(n?1)5n，故

n?1

a a

n 1 n a

n

L a a

a ? n ? n?1?

3? 2?a

n a

n?1

a

n?2

a a 1

2 1

?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]?L?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3

?2n?1[n(n?1)?L?3?2]?5(n?1)?(n?2)?L?2?1?3

?3?2n?1?5

n(n?1)2

n!

所以数列{a

n

}的通项公式为a

n

?3?2n?1

n(n?1)

? ?5 2

? ?

三、待定系数法适用于a ?qa ?f(n)

n?1 n

分析：通过凑配可转化为a

n?1

??f(n)??[a

1 2 n

??f(n)];

1

解题基本步骤：

1、确定f(n)

2、设等比数列?a

n

??f(n)?，公比为?

1 2

3、列出关系式a

n?1

??f(n)??[a

1 2 n

??f(n)]

1

4、比较系数求?，?

1 2

5、解得数列?a

n

?f(n)?的通项公式

1

6、解得数列?a

n

?的通项公式

例4已知数列{a

n

}中，a

1

?1,a

n

?2a

n?1

?1(n?2)，求数列?a

n

?的通项公式。

解法一：Qa ?2a ?1(n?2),

n n?1

又Qa

1

?1?2,??a

n

?1?是首项为2，公比为2的等比数列

?