【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第17讲 重难点拓展：“手拉手全等模型”三种常见题型解题技巧（原卷版讲义）.docxVIP

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第17讲重难点拓展：“手拉手全等模型”三种常见题型解题技巧

题型一：等腰三角形的手拉手模型题型二：等边三角形的手拉手模型

题型三：直角三角形的手拉手模型

题型一：等腰三角形的手拉手模型

【模型解读】

条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；

题型二：等边三角形的手拉手模型

【模型解读】

条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；

题型三：等腰直角三角形的手拉手模型

【模型解读】

条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；

题型归纳

题型一：等腰三角形的手拉手模型

【例1】（2023秋?华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为度，线段与的数量关系为（用几何语言填写）．

（2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系．

【变式1-1】．（2023秋?确山县校级期中）如图，已知在等腰中，，在等腰中，，连接，，试猜想与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论．

【变式1-2】．（2023秋?红桥区期末）在和中，，，，连接，．

【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是，的度数为．

【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．

【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由．

【变式1-3】（2023秋?鹿寨县期中）综合实践

在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则．

初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有．

深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：．

拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．

题型二：等边三角形的手拉手模型

【例2】（2023秋?武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点．

（1）求证：．

（2）求的度数．

【变式2-1】．（2023秋?道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点．

（1）如图1，求证：点是的中点；

（2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）．

【变式2-2】（2023春?莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接．

（1）若，；

①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由；

②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数．

【变式2-3】（2023春?莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接．

（1）若，；

①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由；

②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数．

题型三：直角三角形的手拉手模型

【例3】如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．是斜边上一点，连接线段，并逆时针旋转至，连接线段．

（1）证明：．

（2）判断的形状．

【变式3-1】如图，已知，，，，与相交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

【变式3-2】．（2023秋?屯昌县期末）如图，在中，，垂足为，，点在线段上，；，分别是，的中点，连接．

（1）判断和的数量关系，并说明理由；

（2）判断的形状，并说明理由．

【变式3-3】．（2023?定西模拟）（1）问题发现

如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．

填空：①的度数为；

②线段，之间的数量关系为．

（2）拓展探究

如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及