【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题（原卷版讲义）.docxVIP

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第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题

题型一：线段的数量关系题型二：线段最值问题

题型三：周长最值问题

一、线段的数量关系

此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；

二、线段最值问题

??此类问题通常有两类：

??①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

?②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；

三、周长最值问题

?此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).

题型归纳

题型一：线段的数量关系

【例1】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知．

(1)求a，b的值；

(2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，

①若与的面积之和为8，求t的值；

②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【变式1-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；

(3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由．

【变式1-2】（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．

①若点N在线段上，且，求点M的坐标；

②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值．

【变式1-3】（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点．

(1)求出该二次函数的解析式．

(2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N．

①当时，求点P的横坐标．

②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围．

(3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值．

题型二：线段最值问题

【例2】（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求线段长度的最大值．

【变式2-1】（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值．

【变式2-2】（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值．

【变式2-3】（2024·江苏淮安·三模）二次函数的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点．

(1)，；

(2)如图，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求的最小值．并求出此时点P的坐标．

(3)在（2）成立的前提下，在抛物线是否存在点Q，使得存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由．

题型三：周长最值问题

【例3】（20