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3.2.2双曲线的简洁几何性质
A级必备学问基础练
1.双曲线x29-y
A.2 B.4 C.5 D.8
2.离心率为2的双曲线x2a2-y2b2
A.5x±y=0 B.x±y=0
C.x±3y=0 D.3x±y=0
3.已知双曲线C的离心率为e=43,虚轴长为27,则其标准方程为(
A.x24
B.x24-y2
C.x29-y2
D.x29-y2
4.双曲线C:x22-y2m=1(m0)的一条渐近线的方程为2
A.2 B.2 C.4 D.5
5.已知双曲线的方程为x2-y22=1,则下列叙述正确的是(
A.焦点坐标为(±1,0)
B.渐近线方程为y=±2x
C.离心率为2
D.实轴长为22
6.(多选题)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P是双曲线上一点,且双曲线的渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是(
A.C的标准方程为x29
B.C的离心率为5
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
7.已知点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,则b=,顶点到渐近线的距离为
8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为e=233,过点A
B级关键实力提升练
9.已知双曲线的一条渐近线为直线x-3y=0,且一个焦点坐标是(-2,0),则双曲线的标准方程是()
A.y2-x23=1 B.x23
C.x2-y23=1 D.y23
10.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m等于()
A.-14 B.-
C.4 D.1
11.(多选题)已知双曲线x2m-y2m
A.离心率的最小值为4
B.当m=2时,离心率最小
C.离心率最小时,双曲线的标准方程为x22
D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为3x±y=0
12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M,N
A.(2,+∞)
B.(5,+∞)
C.(1,2)
D.(1,5)
13.(2024全国甲,理8)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于
A.15 B.5
C.255 D
14.已知双曲线C:x24-y2=1,P为C上的随意点,设点A的坐标为(3,0),则|PA|的最小值是
15.焦距为2c的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),假如满意“
(1)若双曲线C是“等差双曲线”,求其渐近线的方程;
(2)对于焦距为10的“等差双曲线”,若过点M(0,2)的直线l与其仅有一个公共点,求直线l的方程.
C级学科素养创新练
16.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满意|AF1|=2|AF2|,且AF
A.3+12 B.3 C.2 D.3
3.2.2双曲线的简洁几何性质
1.D由x29-y216=1,知a=
故选D.
2.D由题意,双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e=ca=2,则a∶b
所以双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax=±3x
3.D由题意可得2b=27,所以b=7.
又因为e=ca=a2+b2a2=
4.D依据题意,双曲线C:x22-y2m
则有m2=2,即m=8,则双曲线的方程为x22-y28=1,其中a=2,b=22,则c=
5.B由已知得a=1,b=2,c=3,所以实轴长为2a=2,焦点坐标为(±3,0),离心率为e=ca
双曲线的渐近线方程为y=±2x,故B正确.故选B.
6.AD由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为x2a2-y2
所以渐近线的方程为y=±bax,即bx±ay=0,由题意43=ba
再由c2=a2+b2=a2+43a2=259a2=25,可得a2
所以双曲线的标准方程为x29
离心率e=ca
焦点F到渐近线的距离d=bca2
|PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确.
故选AD.
7.22223因为点(3,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,所以a=1,c=3,所以b=22,于是双曲线的渐近线方程为y=
8.解∵e=233,∴ca=
∴a2=3b2. ①
又直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
∴直线AB与原点之间的距离d=aba
即4a2b2=3(a2+b2). ②
解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
∴双曲线的标准方程为x23-y2=
9.B由题意可得焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为x2a2-y2
所以可得双曲线的渐近线方程为y=±bax
由题意可得ba=13,c=2=a2
10.A双曲线方程化为标准形式
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