微专题23 不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法公开课教案教学设计课件资料.docVIP

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微专题23.不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法

知识梳理

不等式恒成立求参数问题是高考的一个热点，同时对于学生而言也一直是一个难点、痛点。处理这类恒成立求参问题常用的方法是三种：1.直接作差构造函数求最值；2.参变分离；3.必要开路再证充分性，对于方法1,由于含有参数，故免不了要进行分类讨论，过程繁琐，方法3后续会有涉及，这里主要讲参变分离，参变分离分两种：第一种是把参数完全分离出来，得到或的结构，此处为参数，然后再通过求函数的值域来确定参数的范围；第二种是不把参数完全分离出来，往往可以分离出直线来，常用的模型是或.

例题讲解

考查点一全分离

［例1]

1.(2019·天津题改编）已知.设函数，若关于x的不等式≥0在x1上恒成立，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

2.(2020·普通高等学校招生全国1)已知函数

（1)当时，讨论的单调性；

（2)当≥0时，，求的取值范围。

相似题

1.已知函数，若，则c的取值范围为___________.

2.(2011·高考新课标全国卷I)已知函数，如果当0且≠1时，，求k的取值范围。

考查点二半分离

由题型一可知全分参的主要难点在于两个：一是分参的时候经常涉及到分式求导，往往后续需要二次求导，较为繁琐；二是最后求最值的时候经常需要洛必达法则，如果我们另一端不完全把参数分出来，即分成一条直线，可以使得很多题目解答起来方便快捷很多。凹凸函数：若函数在区间I上二阶可导，且≥0(≤0），则在区间I上是凹函数（凸函数），则有如下结论：

结论1:已知、在上可导，要使≥在上恒成立，变形可得

≥,在上恒成立，其中，若在上是凹函数，且F(t)=G(t)，则F(t)≥G(t),即切线的切点恰好在端点处.

结论2:已知、在上可导，要使≥在上恒成立，变形可得≥,在上恒成立，其中，若在上不是凹函数，且可以过上的定点作曲线的切线，令切线斜率为k,则a≤k，即切线的切点在曲线中间处，切点可由方程组解得.

［例2]

1.设函数，当≥0时，，求的取值范围。

2.(2022·新高考II卷题22)已知，当 0时－1,求的取值范围．

3.设函数，若对所有≥0，都有成立，求实数的取值范围。

相似题

1.已知，当时，恒成立，求的取值范围。

2.已知函数，若在区间上各恰有一个零点，求的取值范围.

考查点三放缩法

在历年高考中多次出现以型函数与其他函数相结合的形式命制导数压轴题，重点考察零点问题、不等式证明问题、恒成立求参数范围问题等是常见的设问方式如果利用常规求导路线处理这类问题，由于复杂的函数结构，求导判断其单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数结构转化为较为简单的函数将会大大降低难度所谓“切线放缩”，就是在一条曲线的某点处用切线逼近，充分体现了“以直代曲”的数学思想，常见的切线放缩有：

;②;(对应函数在x=0和x=1处的切线）③;④以及常用变形；⑤.下面结合几个典型例题予以介绍。

［例3](2022·湖南新高考联盟二模）已知函数.若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。

相似题

1.(2020·安徽模拟）已知函数,若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为()

A.B.C.D.

2.(2014·新课标I)设函数，曲线在点处的切线为.

（1)求;(2)证明：1.

过关练习

1.(2014·辽宁）当时，不等式≥0恒成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

2.(2010·天津）设函数，对任意,0恒成立，则实数的取值范围是______________.

3.设函数，若当时，，求的取值范围。

4.设函数，若对所有，都有成立，求实数的取值范围。

5.已知函数,若对，恒有成立，求的取值范围。

6.设函数，求实数的取值范围，使得对于任意的，恒有成立.

7.(2013·新课标）已知函数

(1)设x=0是的极值点，求m,并讨论的单调性；

（2)当m≤2时，证明.

8.(2020·新课标）已知函数，若有两个零点，求实数的取值范围。

9.设函数,其中是的导数。若恒成立，求实数的取值范围。

10.已知函数，当时，≤0，求实数的取值范围。

11.已知函数.若≥1，求的取值范围。

进阶提升

1.已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围。

2.(2020·山东卷）已知函数.若≥1，求的取值范围。（参考方法：放缩）