11.8常系数非齐次线性微分方程.ppt

常系数非齐次线性微分方程第8节一、二、三、欧拉方程7/26/20241(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法7/26/20242(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

一、?为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若?不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式7/26/20243(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

(2)若?是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若?是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当?是特征方程的k重根时,可设特解7/26/20244(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为7/26/20245(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为7/26/20246(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.二、7/26/20247(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例3.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解7/26/20248(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例4.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为7/26/20249(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例5.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:7/26/202410(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

内容小结?为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.7/26/202411(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

(1)思考与练习7/26/202412(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

(2)7/26/202413(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

(3)7/26/202414(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

三、欧拉方程常系数线性微分方程7/26/202415(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

欧拉方程的算子解法:则计算更难!7/26/202416(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:7/26/202417(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①7/26/202418(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)

①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得7/26/202419(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)