【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（浙教版）04讲 二次函数与一元二次方程关系（原题卷讲义）.docxVIP

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第04讲二次函数与一元二次方程关系

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三教材习题学解题

模块四核心考点精准练

模块五小试牛刀过关测

1.理解二次函数与一元二次方程的关系

2.能够判断二次函数与x轴交点

3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根

4.理解抛物线与不等式的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

判别式

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

图象

与x轴的交点坐标

根的情况

△＞0

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于，两点，且，

此时称抛物线与x轴相交

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

△＝0

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

△＜0

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在实数范围内无解（或称无实数根）

注意：

二次函数图象与x轴的交点的个数由b2-4ac的值来确定的.

当二次函数的图象与x轴有两个交点时，Δ=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，Δ=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，Δ=b2-4ac＜0，方程没有实根．

2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤：

1.作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；

2.确定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的取值范围．即确定抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标的大致范围；

3.在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．

4.确定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的近似根．

3.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴

即（△＞0）．

4.抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

判别式

抛物线与x轴的交点

不等式的解集

不等式的解集

△＞0

或

△＝0

（或）

无解

△＜0

全体实数

无解

要点：

抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c＜0的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

教材习题01

利用二次函数的图像求方程x2+x－1=0的解（或近似解）

解题方法

①求二次方程的解，可以利用二次函数的图像求方程的近似解，做出y=x2+x－1的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解

【答案】

解：设y=x2+x－1，则方程x2+x－1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标，在直角坐标系中画出函数y=x2+x－1的图象(图1-20)得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x，就是方程的解，观察图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6。所以方程x2+x－1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6.

考点一：二次函数与坐标轴交点问题

例1．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2?4ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为?1

A．5 B．3 C．?3 D．?5

变式1-1．函数y=2x2?4x+c与x

A．2,0 B．?1,0 C．?5,0 D．?3,0

考点二：通过二次函数图像确定方程根情况

例2．如图，是抛物线y=ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A