【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（浙教版）12讲 圆内接四边形与正多边形（解析卷讲义）.docxVIP

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第12讲圆内接四边形与正多边形

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三教材习题学解题

模块四核心考点精准练

模块五小试牛刀过关测

1．掌握圆内接四边形的概念和定理；

2．掌握圆与正多边形的关系；

一、圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

二、圆内接四边形性质定理

圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

三、正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

四、正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

五、正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

六、正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形.

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.

②正六、三、十二边形的作法.

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分…….

要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

教材习题01

已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D.求证：DB＝DC.

解题方法

要证明DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB.根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC.又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE.而已知∠DAC＝∠DAE，这就证明了∠DBC＝∠DCB.

【答案】

证明：∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠DAC＝∠DAE.

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠BAD＋∠DCB＝180°（圆内接四边形的对角互补）.

∴∠DCB＝∠DAE.

而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），

∴∠DCB＝∠DBC，

∴DB＝DC.

考点一：已知圆内接四边形求角度

例1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC=115°，则∠CAE的度数为（???）

A．1