立体几何角度求解全攻略.doc

立体几何中的角度问题攻略

新东方孟祥飞

异面直线角：采用平移法，或者向量

线面角：〔1〕当射影线好找时采用定义法，〔2〕当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择

二面角：〔1〕当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可〔2〕当二面交线垂线不好平移〔主要原因为计算量太大〕建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。〔3〕三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。

例题：1.正四面体中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度

S

E

AC

F

B

异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造根本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。

S

E

P

AC

PF和SF所成平面角即所求

F

B

S

E

这样的构建也是不错的选择

EQ和EB所成角为所求

AC

Q

F

B

求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，那么EB=，EQ=，QB=

所以

此题还可以采用五坐标向量法来求解，

2.三棱锥A，且

，求的单调性

A

E

Q

BD

F

C

此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线〔等比例线〕方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF的单调性，而角EQF为棱AC和BD之间角，是为定值的

3.正方体，E是中点，求DE与ABCD所成角。

D1 C1

A1 B1

E

D C

Q

A B

线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE直线的射影，不难发现DE的射影即为DQ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ，只需求解直角三角形EDQ即可求出线面角的三角函数值。但是同学们请思考，你知道这个题为什么简单吗？请看下面

4.正方体，求与平面所成角。

D1 C1

A1 B1

Q

D C

A B

还是正方体，这个题就不好做，因为我们在想采用定义法的话，你会发现这次射影不好找了，是谁的问题呢？是平面的问题，刚刚所求平面是底面，由于有侧棱垂直底面，所以引垂线找射影都是很自然的，但是当平面为斜切面时候，我们觉得就不是那么自然了，由点B想向平面引垂线找射影其实并不简单，当然聪明的同学会知道点B的垂足点其实在三角形的几何中心Q上，没错，如图，但是此时的三角形QB还是需要运算求解，不是很轻松，再想如果图形复杂，斜面不是等边图形求解将会更复杂，甚至垂足点都不好早，所以这个方法就不是最优解了，当然这时我们首先可以选择建议〔详解略〕，我想为大家推荐另外一种解法，是这样的，BQ线段其实既是垂线段，又是三棱锥的高，如果我们能求出这个高，然后比上B，即可求出射影和斜线的正弦，即线面角的正弦，而求高是不一定非要引垂线的，我们都知道可以等体积求高嘛，所以这个方法有时候叫做等体积法，如下：

，

将两个面积算出，以及侧棱带入，

即可算出BQ大小，在算即为线面角正弦。

5.正方体，E，F分别是所在棱中点，

〔1〕求证四点共面

〔2〕求与所成角

F

D1 C1

A1 B1

线面角 射影d

D C

AE B

此题同学们即发现如果由B1点向平面引垂线找射影的话就会较为麻烦？不会麻烦，这个垂线是非常难引的，所以可以采用的是等体积法，但是要注意等体积法只适用于三棱锥可以换底！所以如果我们要求点到平面的距离，必须要将平面分成三角形平面，构建三棱锥，

设点到平面距离为d，得三棱锥体积

，

即可求出d，然后

6.正方体，点E，F为中点，求和平面BDEF所成角度

ED1 C1

A1FB1

D C

A B

对于这道题而言，大家会发现再采用等体积换底求高再比出线面角正弦的方法，此题也不是很适用了，因为在我们设法