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相似三角形专题

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【一】知识梳理

【1】比例

①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例

②形式：a:b=c:d，

③性质：基本性质：ac=bd

1、

1、可以把比例式与等积式互化。2、可以验证四个量是否成比例

注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负4，比例中项：

注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负

【2】黄金分割

定义：如图点C是AB上一点，若，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个

注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角形，

【3】平行线推比例

上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右

上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右

全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上

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【4】相似三角形

1、相似三角形的判定

①AA相似：∵∠A=∠D,∠B=∠E

∴△ABC∽△DEF

②‘SAS’

∴△ABC∽△DEF

③‘SSS’

∴△ABC∽△DEF

④平行相似：

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

2、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

3、相似三角形的常见图形

‘A型图’‘X型图’‘K型图’

‘母子图’‘一般母子图’AC2=AD?AB

相似三角形专题全文共2页，当前为第2页。母子图中的射影定理

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AC2=AD?ABBC2=BD?AB

CD2=AD?BD

【二】题型

1、求线段的比

求

求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配

【例题1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，?l2，?l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，?l2，?l3于点D，E，F．AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5则的值为

【例题2】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于

?

（1）（2）

【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:PD=

【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，

如果＝，那么＝（）

A．B．C．D．

（3）（4）

【例题5】已知，则=

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，则=

【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(ADDC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB=?.

【例题7】如图所示,将矩形ABCD折叠,使点B落在边AD上,点B与点F重合,折痕为AE,此时,矩形EDCF与矩形ABCD相似,则=.

【例题8】如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D为弧AB的中点，则=

（6）（7）（8）

【例题9】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB的中线，AN⊥CD，交BC于N,若CD=3，AN=4，则tan∠CAN=

2、相似三角形的性质与判定

【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（???）

【例题2】如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条