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二次函数中的相似三角形

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二次函数中的相似三角形

例1（2011绵阳）:已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）求m的值；

（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C’，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点。如图，请在抛物线C’上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

例1图例1（1）（2）图例1（3）图

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例2:如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（-1，0）、B（1，0）与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存有点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存有，则求出点M的坐标；若不存有，请说明理由．

例2（1）（2）图例2（3）图

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例3:已知，如图，二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该二次函数的关系式并写出它的对称轴和顶点坐标；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标（2，0）．

问：是否存在这样的直线l．使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

思考：在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是直角三角形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．

例3（1）（2）图例3（3）图

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