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二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)

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等腰三角形直角三角形存在性问题

典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为,与y轴交于点.

(1)求出这个二次函数的解析式;

(2)直接写出点B的坐标为

(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形假设存在,求出满足条件的P点坐标;假设不存在,请说明理由;

(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大假设存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;假设不存在,请说明理由.

答案详解

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共1页，当前为第1页。解:(1)的图象经过,,

,,

所求解析式为:,

答:这个二次函数的解析式是.

(2)解:,

故答案为:.

(3)解:在中,

,,,

,①当时在x轴的负半轴),;

②当时在x轴的正半轴),;

③当时在x轴的正半轴),;

④当时在x轴的正半轴),

在中,设,那么解得:,

;

答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.

(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,

即:Q点坐标为,

连接OQ,

,

,

,

,

Q点坐标为,

答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共1页，当前为第1页。

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共2页，当前为第2页。解析:

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共2页，当前为第2页。

(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;

(2)把代入求出x的值,即可得到答案;

(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),,即可得出答案;

(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.

此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进展计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.

练习：

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共3页，当前为第3页。如图,抛物线与x轴交于点和点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共3页，当前为第3页。

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答案详解

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共4页，当前为第4页。解:(1)由题知:解得:所求抛物线解析式为:;

(2)抛物线解析式为:,其对称轴为,

设P点坐标为,当时,,

,

①当时,,解得,

点坐标为:;

②当时,,解得,

点坐标为:或;

③当时,由勾股定理得:,解得,

点坐标为:综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共4页，当前为第4页。

解析:

(1)抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;

(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进展讨论:

①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标一样,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.

②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).

③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;

此题主要考察了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进展求解,不要漏解.

典例2，

练习：

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共5页，当前为第5页。如图，在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线〔〕经过，两点，，，且。

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)全文共5页，当前为第5页。

〔1〕分别求直线和抛物线的解析式〔关系式〕