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全等三角形的七大模型综合训练(二)
1.如图,等边VABC中,点在AB上,延长CB到,,连DE,过点作DF^BC与点
DEBE=ADD
F.
(1)1AB
如图,若点D是中点,
求证:①DC=DE;②EF=FC.
(2)2ABEF=FC
如图,若点D是边上任意一点,的结论是否仍成立?请证明你的结论;
(3)3ABEF=FC
如图,若点D是延长线上任意一点,其他条件不变,的结论是否仍成立?画出图并证明你
的结论.
(1)①②
【答案】见解析;见解析
(2)成立,见解析
(3)成立,见解析
1ÐE=ÐBCDDC=DE
【分析】()证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论;
2EF=FCDDM//BCACMVDMC@VEBDSAS
()仍然成立,过点作交于,证明,可得结论;
3DDM//BCACMVDMC@VEBDSAS
()结论仍然成立,过点作交于,证明,可得结论.
1
【详解】()证明:如图
①∵VABC为等边三角形,
∴ÐABC=ÐACB=60°,
又D为AB中点,
°
∴ÐBCD=ÐACD=30,
∵EB=AD=BD,
1
∴ÐE=ÐEDB=ÐABC=30°,
2
∴ÐE=ÐBCD,
∴DC=ED;
②∵DC=ED,
∴△EDC为等腰三角形,
∵DF^BC,
∴BF=EF.
2EF=FC
()仍然成立,理由如下:
如图,过点D作DM//BC交AC于M
∵VABC为等边三角形,
∴ÐA=ÐABC=ÐACB=60°,
∴ÐDBE=120°,
∵DM∥BC,
∴ÐAMD=60°,
∴ÐDMC=120°,VAMD为等边三角形,
∴AD=DM=AM,
∵AD=BE,
∴DM=BE,
∵AB-AD=AC-AM,
∴DB=MC,
在VDMC和△EBD中,
ìDM=BE
ï
ÐDMC=ÐDBE
í,
ïMC=BD
î
∴VDMC@VEBDSAS,
∴ED=DC,
而DF^BC,
∴FC=EF.
3EF=FC
()的结论仍然成立,理由如下:如图为所求作图.
作DM∥BC交AC的延长线于M,
易证VAMD为等边三角形,
AM=AD=MD,ÐM=60°,
而AB=AC,
∴BD=CM,
∵AD=BE,DM=AD,
∴MD=EB,
∵ÐM=60°,ÐEBD=ÐABC=60°,
∴ÐM=ÐE
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