18-19 第3章 3.2 3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示.pdfVIP

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

学习目标：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点).2.会用

平面的法向量证明平行与垂直．(重点).3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证

明有关垂直问题．(难点)

[自主预习·探新知]

1．平面的法向量及其应用

(1)平面的法向量：假如向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α

的法向量或说向量n与平面α正交．

(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用

·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一

个平面的向量表示式．

(3)两个平面平行或垂直的推断：设n，n分别是平面α，β的法向量，则α∥β

12

或α与β重合⇔n∥n；α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0.

121212

思索：平面的法向量有何作用？是否唯一？

[提示]平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可

以推断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共

线的．

2．三垂线定理及其逆定理：

(1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点

A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．

②图形F上全部的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α

内的射影．

(2)三垂线定理：假如在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内

的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

(3)三垂线定理的逆定理：假如平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂

直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．

[基础自测]

1．思索辨析

(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法

向量．()

(2)若直线l是平面α外的一条直线；直线m垂直于l在平面α内的投影，

则l与m垂直．()

(3)一个平面的法向量有多数多个，随意两个都是共线向量．()

[提示](1)×不肯定．当a＝0时，也满意a∥l，尽管l垂直于平面α，a

也不是平面α的法向量．

(2)×不肯定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在

平面α内的投影，也不能得出m⊥l的结论．

(3)√

2．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－

4，k)．若α∥β，则k等于()

A．2B．－4C．4D．－2

C[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.]

3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为

()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)

C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

C[明显a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴

令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]

[合作探究·攻重难]

求平面的法向量

如图3­2­10所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥

平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直