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运筹学大m法例题详解

一、标题解释

大M法是运筹学中常用的一种优化方法，主要用于求解线性规划问题。大M法是通过引入一个乘常数向量M，将原问题转化为标准型，从而更容易求解。M中的每个元素M(i,j)称为大M元素，对应于原问题中约束条件中的右侧元素。

二、实例分析

【例题1】求以下线性规划问题的最优解：

Maxz=3x+4y

s.t.x+y-6=0

3x-y-3M(1,1)=0

x-y-M(2,2)=0

x,y=0

解：

1.将目标函数和第一个约束条件转化为标准型：

Maxz=3x+4y=3(M(1,1)+M(2,2))x+4(M(2,2)-M(1,1))y+6M(1,2)

2.将第二个约束条件转化为标准型：

3x-y-M(1,1)=0(其中M(1,1)=M(2,2)+3*z)

-y-M(2,2)=0(其中z为约束条件的等式右侧向量在第一个约束下的元素个数)

将第二个约束中的-y变为-z*x+M(2,2)+z*y（此处需要乘上大M元素和系数z），再将M进行转置。注意在加M之前要处理一些元素（即上三角部分的元素和下三角部分非负的元素），这是因为在大M法中要求矩阵的对称部分必须是正定的。处理完之后得到一个新的矩阵A和向量b。

3.对A和b进行求解，得到最优解x*和y*。

【例题2】求以下非线性规划问题的最优解：

Minf(x,y)=x^2+y^2+x*y

s.t.x+y-6=0(这里假设目标函数中x和y的系数都是正数，即f(x,y)是凸函数)

x=0

y=0

解：将目标函数转化为标准型：Minz=x^2+y^2*z(z为权重系数)

得$x=M^(-1)*(z\timesy-b)$$y=(6/y^2)-z\times(6/y^2)$，其中$M$为$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{z_1}\frac{6}{z_2}\\

\frac{6}{z_1}\frac{z_2}{y}\\

\end{matrix}\right.$矩阵的逆矩阵，$b$为约束条件的等式右侧向量在目标函数下标为$j$的元素的权重。这里需要注意非线性规划问题的处理方法与线性规划问题不同，不能直接套用线性规划的方法，需要用不同的方法求解。另外需要注意的是非线性规划问题一般需要考虑其求解精度、算法收敛性和实际应用效果等因素。

三、总结

大M法是一种常用的运筹学优化方法，主要用于求解线性规划和非线性规划问题。通过将原问题转化为标准型，可以更容易地求解问题。在求解过程中需要注意矩阵的正定性和大M元素的选取，以及目标函数和约束条件的处理方法。另外，对于非线性规划问题，需要选择合适的算法和精度要求，以保证求解的准确性和效率。