微分方程分析和总结.docx

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微分方程

—基本概念

定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．

定义若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．

一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式：F(x,y,y?)?0或y??f(x,y)．

可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程能化为N(y)dy?M(x)dx的形式，那么原方程称为可分离变量的微

分方程．对上式两边积分，得?N(y)dy??M(x)dx，便可得到所求的通解．

如要求其特解，可由初始条件y

?y代入通解中定出任意常数C的值，可得特解．

x?x0 0

例 求微分方程(1?y2)dx?xy(1?x2)dy?0满足初始条件y(1)?2 的特解．

解 分离变量，得 y dy??1

dx．

1?y2 x(1?x2)

y ?1

x ? 1 1 1

即 dy?? ?

?dx．两边积分，得 ln(1?y2)?lnx? ln(1?x2)? lnC．

1?y2

?x 1?x2?

2 2 2

即ln(1?x2)(1?y2）?ln(Cx2)．通解为(1?x2)(1?y2)?Cx2．

把初始条件y(1)?2代入通解，可得C?10．所求特解为(1?x2)(1?y2)?10x2．

齐次方程

? ?可化为形如dy?f?y?

? ?

dx ?x?

齐次方程中，作变量替换u?

y就可以化为可分离变量的方程：? 1

x f(u)?u

du??1dx

x

求出积分后，将u还原成y

x

，便得所给齐次方程的通解．

例如方程(xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0

例 解微分方程y??y

x

?2tan y.

x

解 原方程可写成：y??2tan

y?y.这是齐次方程．令u?y

，f(u)=2tanu+u．

x x x

代入原方程得?

du ?

tanu

?dxx

.积分得lnsinu?2lnx?lnc?lncx2.得sinu?cx2.

将u?

y y

代入上式，便得原方程的通解为sin ?cx2.

x x

在微分方程中，一般习惯上把x看作自变量，但有时若将y看作自变量，求解时会很简便，如下例．

例求微分方程(y2?3x2）dy?2xydx ?0满足初始条件y

?1的特解．

x?0

解 原方程可化为dx

?y2

?3x2

?x?2

1?3? ?

? ?y? ．

dy 2xy

2?x

y

令u?x

y

，即x

?uy

，则dx

dy

?u?ydu

dy

，代入上式，得ydu

dy

1?5u2

? ．分离变量，并

2u

两边积分，得?

2u

du?

1?5u2

?1dy．即?

y

1ln(1?5u2)?lny?

5

1

lnC．

5

将u?

x代入，得到原方程的通解为y5

y

?5x2y3?C

将初始条件y?1代入通解中，得到C?1．所求特解为y5?5x2y3?1．

x?0

与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．

例6 求解微分方程dy

dx

???1 ?1．

x?y

解 令x?y?u，则y?x?u，dy

dx

?1?du

dx

，于是 1?du

dx

?1?1．duu dx

??1．

u

分离变量，并两边积分，得u2??2x?C．以u?x?y代回，得(x?y)2??2x?C