湘教版高中数学必修第一册-4.2.1指数爆炸和指数衰减-学案讲义【含答案】.pdfVIP

湘教版高中数学必修第一册-4.2.1指数爆炸和指数衰减-学案讲义

教材要点

要点一指数函数的定义

u

在幂的表达式a中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数

________(a＞0且a≠1)叫做指数函数．

x

状元随笔(1)规定y＝a中a＞0，且a≠1的理由：

xx

①当a≤0时，a可能无意义；②当a＞0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a＝

x

1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a中a＞0，且a≠1.

(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变

x

量必须位于指数的位置上．③a的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝

x

2＋1不是指数函数．

要点二指数爆炸

(1)当底数a＞1时，指数函数值随自变量的增长而增大，________较大时指数函数值增

长速度惊人，被称为指数爆炸．

x

(2)把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u＋T]中，指数函数y＝a(a＞1)的值

＋＋

uuTuTuuT

从a增长到a，增长率为(a－a)÷a＝a－1，它是一个常量．因此，在经济学或其他

学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述

为指数式增长，也称指数增长．

要点三指数衰减

如果底数0a1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰

减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

2

(1)y＝x是指数函数．()

x

(2)y＝x(x＞0)是指数函数．()

＋

x2

(3)y＝a(a＞0且a≠1)是指数函数．()

x

(4)指数函数y＝a中，a可以为负数．()

2．下列各函数中，是指数函数的是()

A．y＝(－3)xB．y＝－3x

－1x

C．y＝3x1D．y＝

3

3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为()

A．4B．8C．16D．1

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4．已知函数f(x)是指数函数，且f−＝，则f(x)＝________.

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题型1指数函数的概念及应用

例1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()

A．y＝(－4)xB．y＝πx

＋

x