湘教版高中数学必修第一册-5.2.1.2用有向线段表示三角函数-学案讲义【含答案】.pdf

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湘教版高中数学必修第一册用有向线段表示三角函数学案讲义

教材要点

要点一三角函数线

1．如图，设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点

P作x轴的垂线，垂足为D.

由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代表了sin

α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦线．同理有向线段

OD称为角α的余弦线．

2．如图，过点A(1，0)作单位圆的切线x＝1，如果tanα存在，设该切线与角α的终边(当

α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1，y)，则tanα

1

＝AT，称AT为角α的正切线．

要点二三角函数值在各象限的符号

状元随笔对三角函数值符号的理解

三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．因为从原点到角的

终边上任意一点的距离r总是正值．所以根据三角函数定义知：

(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；

(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；

(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)角α的正弦线的长度等于sinα.()

(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()

(3)已知α是三角形的内角，则必有cosα＞0.()

(4)若sinα＞0，则α一定在第一或第二象限．()

π6π

2．角和角有相同的()

55

A．正弦线B．余弦线

C．正切线D．不能确定

3．若sinα＜0，tanα＞0，则α在()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

4．若α是第三象限角，则点P(sinα，cosα)在第________象限．

题型1三角函数线的作法

3

例1作出π的正弦线、余弦线和正切线．

4

方法归纳

三角函数线的作法步骤

(1)作直角坐标系和角的终边．

(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.

(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.

(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.

MPOMAT

(5)即向量，，分别为角的正弦线，余弦线和正切线．

5π

跟踪训练1作出－的正弦线、余弦线和正切线．

8

题型2利用三角函数线解三角不等式

例2在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．

3

(1)sinα≥；

2

1

(2)cosα≤－.

2

方法归纳

1．用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤

(1)作出取等号的角的终边；

(2)利用三角函数线的直观性，