第九讲--二次函数与三角形.doc

第九讲二次函数与三角形、四边形及其面积问题

一、知识梳理：

抛物线与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。

这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。

考查方式偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的根底上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下识别、分解根本图形，或通过添加辅助线补全或构造根本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。

解抛物线与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，抛物线解析式三者关系，充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

二、精典题型剖析

考点1、二次函数与等腰三角形

例1、〔2012?扬州〕抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．

∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3．

〔2〕连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

∵点A、B关于直线l对称，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b〔k≠0〕，将B〔3，0〕，C〔0，3〕代入上式，得：

3k+b=0

b=3

，解得：

k=-1

b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；

当x=1时，y=2，即P的坐标〔1，2〕．

〔3〕抛物线的对称轴为：x=-

b

2a

=1，设M〔1，m〕，A〔-1，0〕、C〔0，3〕，那么：

MA2=m2+4，MC2=〔3-m〕2+1=m2-6m+10，AC2=10；

①假设MA=MC，那么MA2=MC2，得：

m2+4=m2-6m+10，得：m=1；

②假设MA=AC，那么MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=±

6

；

③假设MC=AC，那么MC2=AC2，得：

m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为M〔1，

6

〕〔1，-

6

〕〔1，1〕〔1，0〕．

变式训练．〔2012?杭州〕抛物线y=k〔x+1〕〔x﹣〕与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，那么能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是〔〕

A．2B．3C．4D．5

解：y=k〔x+1〕〔x-3

k

〕=〔x+1〕〔kx-3〕，

所以，抛物线经过点A〔-1，0〕，C〔0，-3〕，

AC=

OA2+0B2

=

12+32

=

10

，

点B坐标为〔3

k

，0〕，

①k＞0时，点B在x正半轴上，

假设AC=BC，那么

(

3

k

)2+32

=

10

，解得k=3，

假设AC=AB，那么3

k

+1=

10

，解得k=3

10

-1

，

假设AB=BC，那么3

k

+1=

(

3

k

)2+32

，解得k=3

4

；

②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，

只有AC=AB，那么-1-3

k

=

10

，解得k=-3

10

+1

，

所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．

应选C．

整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即

、

考点2、二次函数与直角三角形

例2．〔2.2012菏泽〕如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

〔2〕设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？假设存在，请求出P的坐标；假设不存在，请说明理由．

〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

解：〔1〕△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A〔0，