偏微分方程教程第三章特征理论与方程的分类讲解.ppt

《偏微分方程教程》

第三章特性理论与方程的分类;§2二阶方程的分类

【知识点提醒】

二阶方程的特性和分类,化方程为原则型。

【重、难点提醒】

辨别方程的类型并化为原则型。

【教学目的】

重要简介二阶方程的特性和分类,并将一般方程化为原则型。初步理解怎样辨别椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。。

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我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程

其中和都是的已知函数,且在平面上的某区域内具有二阶持续偏导数.假设在内的每一点处,;在讨论二阶偏微分方程的分类过程中,常包具有化方程为原则形式的问题,这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的手段,也就是说在我们研究一种方程的求解问题时,先运用自变量变换或函数变换将方程的形式尽量化简,使其具有经典性.;则方程(2.1)变为如下形式:;;;;注2在可逆自变量变换(2.3)下,线性二阶偏微分方程(2.1)仍化为线性二阶偏微分方程(2.4).实际上,由 ;定义3.1设;;;由(2.5)我们懂得,在可逆自变量变换(2.3)下,方程的类型保持不变,即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程).因此,为了求解方程(2.1),我们常常需要找一种可逆的自变量变换,将方程(2.1)化成简朴形式,即原则型.;;;;;以上有关方程的分类及将方程化成原则型的问题,虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论,但对变系数方程(2.1)同样是成立的.这里要尤其指出的是,对变系数方程来说,它的类型与点的位置有关,即也许在区域的某一部分点为这种类型而在另一部分点上为另一种类型.;例如特里谷来(Tricomi)方程;;;解:由于鉴别式;若再作变换

方程就可化成双曲型第二原则型

;方程就可化成双曲型第二原则型 ;于是方程就可化成原则型;因此作变换

就可把原方程化成原则型