第2章-递归与分治.ppt

第2章递归与分治策略几个例子2.1递归的概念2.2分治法的基本思想2.3分治法的应用本章小结几个例子称球游戏给定n个球，其中一个球为次品。次品在外表上与正常球无区别，但重量有分别（可能偏重或偏轻）。现在给一个天平，问：需要称几次才能将次品甄别出来？募捐问题向贫困山区儿童募捐10,000元。世界杯足球赛全球200多支球队里，选出最好的。2.1递归的概念例2:Fibonacci数列问题引入裴波那契（Fibonaccileonardo，约1170-1250）是意大利著名数学家．在他的著作《算盘书》中许多有趣的问题，最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”：如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？问题分析2.1递归的概念数列的特点（1）数列的增长速度（2）自然科学中的若干实例（3）构造一个新数列定义：2.1递归的概念如何求解？解法1：O(0.618n)intfib(intn){if((n=0)||(n==1))returnn;returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}解法2：O(n)解法3：O(logn)2.1递归的概念思考：楼梯问题有一楼梯共有n阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上两阶。编一个程序，计算共有多少种不同的走法？Ackerman函数A(n,0)＝n+2A(n,1)＝2nA(n,2)＝2n。A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。例4排列问题设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合X中元素的全排列记为perm(X)，(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。2.1递归的概念R的全排列可归纳定义如下：当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素；当n1时，perm(R)由:(r1)perm(R1)(r2)perm(R2)………(rn)perm(Rn)构成。参考算法：例5整数划分问题将一个正整数n表示成形如下式的一系列正整数的和，称为n的一个划分。形如：n＝n1＋n2＋……＋nk其中：(ni≥1，i＝1,2,……,k，k≥1)且n≥n1≥n2≥……≥nk≥12.1递归的概念例如：整数6的分划数有11种:6；5+1；4+2，4+1+1；3+3，3+2+1， 3+1+1+1；2+2+2， 2+2+1+1， 2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1;分析：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)(1)q(n,1)=1,n31;(2)q(n,m)=q(n,n),m3n;最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。(3)q(n,n)=1+q(n,n-1);正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。(4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1≤m-1的划分组成。因此：q(n,m)的递归定义如下例6Hanoi塔问题问题描述：问题分析：2.1递归的概念2.1递归的概念递归求解voidhanoi(intn,inta,intb,intc){if(n0){hanoi(n-1,a,c,b);move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a);}}递归函数的运行轨迹2.1递归的概念分析：规模为n的Hanoi(n)问题，可以分解为2个规模为n-1的Hanoi(n-1)问题和一个Move操作。所以，n个盘子的移动次数为2.1递归的概念264－1＝18,446,744,073,709,551,615是个什么概念？实例1：假设每秒钟移动一次，一年，计算表明：移动64个盘子需要5800多亿年。实例2：国王的麦子问题一个高4米、宽10米的粮仓装麦子，这个粮仓有3000万公里长，能绕地球赤道7