【初中竞赛资料】1998年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案.doc

【初中竞赛资料】1998年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

【初中竞赛资料】1998年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

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一九九八年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

填空题

1.设,那么的整数部分是.

2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于厘米.

3.已知,那么代数式的值是.

4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是.

5.如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG=厘米.

6.满足19982+=19972+的整数对,共有个.

7.设平方数是11个相继整数的平方和,则的最小值是.

8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P,已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半,BP=2厘米,PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.

9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米,E,F分别为边AB,BC上的点,AF,CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.

10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.

11.设为实数,那么的最小值是__________.

12.1,2,3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.

13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.

14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为厘米.

15.每一本书都有一个国际书号：ABCDEFGHIJ,其中ABCDEFGHI由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,

r是S除以11所得的余数,若r不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)

现有一本书的书号是962707015,那么=.

第二试

求所有正实数,使得方程仅有整数根.

已知P为?ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证：

P,Q,O三点在一条直线上;

PQ=2OQ.

3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一九九八年

第一试

3

,,

∴,.

2．

如图,AD为直角A的平分线,过B作交CA的延长线于点E.,

,,又∽,,∴.

3．2

.

4．3

因为m、n为有理数,方程一根为,那么另一个根为,由韦达定理.

得,,∴.

5．

由原图,

∴

(厘米).

6．16

,

.

显然,对3995的任意整数分拆均可得到(m,n),故满足条件的整数对(m,n)共(个).

7．11

11个相继整数的平方和为

,

则y最小时,从而,∴.

8．

∵∽,

,

,

∴,.

.

9．

∵,同理,

由原图,连BG.

记,,,.

又由已知,,

解之得,.

∴.

10．13

由题意,设有n人,分苹果数分别为1,2,…,n

≤100,

∴n≤13,所以至多有13人.

11．-1

≥-1.

当,,

即,时,上式不等式中等号成立,故所求最小值为-1.

12．73

对

(1≤mn≤98m,n为整数)

因为n+m与n-m同奇同偶,所以x是奇数或是4的倍数,所以1至98共98个自然数中,满足条件的数有49+24=73个.

13．15

设算式

a

a

c

f

B

b

e

A

d

h

+

g

显然：g=1,d=9,h=0.

a+c+f=10+B

b+e=9+A

∴A≤6.

.

∴.

欲令A·B最大,取A=5,B=3,此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7,故A·B最大值为15.

14．

如图,,,.P,Q,C,N四点共圆,P,Q,B,N四点共圆,

,

,

∴∽,

,

(厘米).

15．7

∴S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知,S被11除所得的余数是11-5=6,因此7y被11除所得余数为

6-1=5,∴y=7

第二试

一、设两整数根为x,y(x≤y),

则

≤y≤a,4≤x≤8.可推出,∴,由于x