偏微(03)相容性收敛性稳定性.ppt

取空间步长h=0.1，图2.11中的（a），（b），（c）为0.9，1.0及1.1在n=9个步长时的计算结果。粗线表示差分格式的解，细线表示结论：差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关，与网格比的大小有关分别表示相应于该时刻的解析解2.4有限差分格式的稳定性(2.14)2.4有限差分格式的稳定性下面考虑如下初值问题差分格式的稳定性一般的两层显式格式可表示为设有一个误差，则就有误差2.4有限差分格式的稳定性例2.4有限差分格式的稳定性考虑只依赖而不依赖的情况(线性差分格式)。重复应用（2.14）式有设有一个误差，则就有误差正的常数，使得当时，一致地有则称差分格式（2.14）是稳定的2.4有限差分格式的稳定性如果存在(2.15)为了度量误差，引入范数定义1(2.14)(2.16)2.4有限差分格式的稳定性(2.17)2.4有限差分格式的稳定性定义2如果对于一切一致地有称差分格式（2.14）是稳定的(2.16)定义3如果对于一切一致地有称差分格式（2.14）是稳定的(2.17)作业：（1）证明：定义1←→定义2（2）证明：定义2←→定义32.5Lax等价定理的差分格式（1.7）的差分格式（1.11）时是收敛的差分格式（2.14）差分格式可以稳定计算时，得不到初值问题的近似解,不稳定不收敛收敛性和稳定性之间是否存在着一定的联系既不收敛也不稳定定理2.1（Lax等价定理）给定一个适定的线性问题及其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充要条件。(1)考虑的问题是初值问题，并包括周期性边界条件的初边值问题。(2)初值问题必须是适定的，适定性概念可按第1章第2节的叙述来解释(3)初值问题是线性的，关于非线性问题可能无这样简洁的关系2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性设L是微分算子,可以用微分算子L表示为Lu=0,2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性可以用差分算子S表示为是一个依赖于和h的线性算子差分格式的一般形式是依赖于、h的系数，为正整数，例2.1有限差分格式的截断误差向前差分向后差分中心差分二阶中心差分2.1有限差分格式的截断误差两个区间上的中心差分扩散方程（1.3）的显示格式（1.11），用微分方程的解来代替（1.11）式中的全部近似解这样得到的方程两边的差是截断误差(2.7)不在边界上的任意一点定义截断误差为(1.11)(2.7)是扩散方程（1.3）的解扩散方程（1.3）的解，关于t的向前差分的Taylor级数展开有进行Taylor级数展开2.1有限差分格式的截断误差(2.5)(2.6)(1.3)的解关于x的二阶中心差分(1.1)(1.10)对流方程（1.1）的差分格式（1.10），其截断误差(1.14)扩散方程（1.3）的隐式差分格式（1.14）2.1有限差分格式的截断误差(1.14)扩散方程（1.3）的隐式差分格式（1.14）2.1有限差分格式的截断误差差分格式（1.14）的截断误差为下面考虑差分格式（1.7）的截断误差，即差分格式（1.7）的截断误差为2.1有限差分格式的截断误差（1.7）1、差分格式的截断误差表示了用（偏微分方程之解）代替（差分方程之解）的差分方程2、要求出一个差分方程的截断误差，把相应的微分方程的光滑的解代入这个差分格式再进行Toylor级数开就可以了。2.1有限差分格式的截断误差所产生的差值。对于扩散方程（1.3），可以建立有限差分格式三层格式(2.8)差分格式（2.8）的截断误差为（2.8）其中，容易看出，这个格式的截断误差是小结如果一个差分格式的截断误差称差分格式对是p阶精度，对h是q阶精度若p=q，则称差分格式是p阶精度的。定义设是定解问题（*）式的充分光滑解，（**）式为求解（*）式的差分格式，如果，当时有称差分格式（**）与定解问题（*）相容的。2.2有限差分格式的相容性截断误差（1.1）中的常数首先把差分格式（1.7）表示为2.3有限差分格式的收敛性差分格式的收敛性是研究差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解。当时间步长和空间步长h无限