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吉林省2024-2025学年高三数学上学期期末试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在△ABC中，，则（）

A． B． C． D．

2．2024年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）

A．6种 B．12种 C．24种 D．36种

3．已知a，，，则（）

A． B． C．3 D．4

4．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为（）

A． B．3 C．2 D．

6．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评依次表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最终，则不同的排表方法共有（）

A．72种 B．144种 C．288种 D．360种

7．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）

A． B． C．6 D．

8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验胜利，假设骰子是质地匀称的．则在3次这样的试验中胜利次数X的期望为（）

A． B． C．1 D．2

9．已知集合的全部三个元素的子集记为，，，…，，，记为集合中的最大元素，则（）

A．45 B．105 C．150 D．210

10．设集合，，若，则a的取值范围是（）

A． B． C． D．

11．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的（）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

12．已知复数，则（）

A．1＋i B．1－i C． D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的绽开式中，常数项为______．（用数字作答）

14．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的细心治疗下，第15天起先有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．假如从第16天起先，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第______天该医院本次收治的全部患者能全部治愈出院．

15．若x、y满意约束条件，则z＝x＋2y的最小值为______．

16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，同时在三棱柱外有一个外接球．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球的表面积为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当a＝1时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若存在满意不等式，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知函数，．

（1）推断函数在区间上的零点的个数；

（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：．

19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．

（1）证明：；

（2）若△ABC的面积S＝2，，求角C．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的极坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，证明，在恒成立；

（2）若在x＝0处取得极大值，求a的取值范围．

22．（10分）已知椭圆C：的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP，交于点M．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于另一点N，且，求点P的坐标．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B【解析】在AB，AC上分别取点E、F，使得，，

可知AEDF为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．

【详解】如下图，，在AB，AC上分别取点E、F，使得，，

则AEDF为平行四边形，故，故答案为B．

【点睛】本题考查了平面对量的线性运算，考查了学生逻辑推理实力，属于基础题．

2．B【解析】分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种状况进行分类探讨，由此求得甲被派遣到A县的分法数．

【详解】假如甲单独到A县，则方法数有种．

假如甲与另一人一同到A县，则方法数有种．

故总的方法数有6＋6＝12种．故选：B

【点睛】本小题