18-19 第2章 2.3　2.3.2　双曲线的几何性质.pdfVIP

2.3.2双曲线的几何性质

学习目标：1.了解双曲线的几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离

心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.会用双曲线的几何性质处理简洁的问题．(难

点)

[自主预习·探新知]

1．双曲线的几何性质

标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)

图形

范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a

对称性对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O

顶点A(－a,0)，A(a,0)A(0，－a)，A(0，a)

1212

离心率e＝

渐近线y＝±xy＝±x

2.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝.

3．离心率对双曲线开口大小的影响

以双曲线－＝1(a0，b0)为例．

e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双

曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心

率越大，它的开口就越大．

[基础自测]

1．推断正误：

(1)等轴双曲线的离心率是.()

(2)方程－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.()

(3)离心率越大，双曲线－＝1的渐近线斜率肯定值越大．()

【解析】(1)√.因为a＝b，所以c＝a，所以e＝＝.

(2)×.由－＝1，得y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x.

(3)√.由＝＝(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的肯

定值越大．

【答案】(1)√(2)×(3)√

2

2．双曲线x－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.

【导学号】

【解析】a＝1，b＝，∴渐近线方程为y＝±x，

离心率e＝＝＝2.

【答案】y＝±x2

[合作探究·攻重难]

由双曲线的标准方程求几何性

质

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求双曲线nx－my＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点

坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

[思路探究]→→

【自主解答】把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝

1(m＞0，n＞0)，

由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，