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一元二次方程

板块一、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

〔1〕运用判别式，判定方程实数根的个数；

〔2〕利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

〔3〕通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

〔4〕几何存在性问题，最值问题．

不解方程，判别一元二次方程的根的情况是〔〕

A．有两个不相等的实数根

B．没有实数根

C．有两个相等的实数根

D．无法确定

，，为正数，假设二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是〔〕

A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根

C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根

假设方程只有一个实数根，那么方程〔〕．

A．没有实数根 B．有2个不同的实数根

C．有2个相等的实数根 D．实数根的个数不能确定

〔2008三帆中学初三月考试题)：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根．

关于的方程①有两个相等的实数根．

求证：关于的一元二次方程②必有两个相等的实数根．

对任意实数，求证：关于的方程无实数根．

求证：关于的一元二次方程有两个实数根．

(2007—2008北大附中初三第一学期期中试题)关于方程

⑴求证：无论取何值，这个方程总有实数根；

⑵假设等腰的一边长为，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．

关于的方程

(1)求证:无论取任何实数值，方程总有实数根;

(2)假设等腰三角形ABC的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．

实数为何值时，关于的一元二次方程．

(1)有两个正根？

(2)两根异号，且正根的绝对值较大？

(3)一根大于3，一根小于3？

(2006-2007学年海淀区第一学期期中试题)关于的方程有两个不相等的实数根．

⑴求的取值范围；

⑵假设为整数，且，是上述方程的一个根，求代数式的值．

〔2010西城初三期末考试题〕关于的方程.

⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；

⑵在⑴中，假设为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

⑴假设方程有实数根，求正整数．

⑵关于的方程有实数根，那么整数的最大值是．

⑶一元二次方程有两个不相等的实数根．那么的最大整数值

为．

⑷关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，那么

________．

板块二、一元二次方程整数根问题

〔2010东城二模〕：关于的一元二次方程〔〕．

⑴求证：方程总有两个实数根；

⑵当取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

〔2010丰台二模〕：关于x的一元二次方程有两个整数根，m5且m为整数．

⑴求m的值；

⑵当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象沿轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；

⑶当直线与〔2〕中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

假设关于的方程的解都是整数，那么符合条件的整数的值有_______个．

关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的值．

(2008年西城区初三抽样试题)当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．

(2007—2008清华附中初三第一次月考试题)，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．

当为何整数时，方程有整数解．

板块三、一元二次方程与函数的综合应用

〔2010石景山初三期末考试题〕：关于x的一元二次方程

⑴求证：此方程有两个不相等的实数根；

⑵设此方程的两个实数根分别为、〔其中〕，假设是关于的函数，且，请求出这个函数的解析式；

⑶请在直角坐标系内画出⑵中所得函数的图象；将此图象在轴上方的局部沿轴翻折，在轴左侧的局部沿轴翻折，其余局部保持不变，得到一个新的图象，动点在双曲线被新图象截得的局部〔含两端点〕上运动，求点的横坐标的取值范围．

〔2010海淀一模〕关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.

⑴求的值；

⑵假设此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点〔在左侧〕，与轴交于点.点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；

⑶将〔2〕中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与〔2〕中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.

〔2010西城一模〕：关于的方程．

⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；

⑵假设二次函数的图象关于轴对称．

①求二次函数的解析式；

②一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；

⑶在⑵条件下，假设二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．

〔2010大兴一模〕假设是关于的一元二次方程的两个根，那