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《正弦定理》课堂教学实录让爱充满课堂

为了适用江苏省刚刚实施的新高考新课程新教材的改革，贯彻十九大教育方针，2021年3月18日，县教育局开展了“县高中数学青年教师优课评比”教研活动.笔者根据新高考新课程新教材理念对正弦定理这节课的内容进行了设计和实践，以国家京台高速为背景引入课题，体现爱国、爱家和立德树人教育；以问题链为导向，体现学生的思维主体和爱思考的数学素养；以鼓励赞美学困生学生的回答，体现爱满天下的教育情怀，同时提高学生爱思考，爱动手的学习习惯。以下是本节课教学过程和反思.

一．教学过程

（一）知识回顾

师：上节课我们学习了余弦定理，请问余弦定理的内容是什么？

生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+

师：余弦定理是如何用向量的方法证明的呢？

生：由向量等式BC=AC?AB,两边平方得，BC?BC=AC?

师:余弦定理可以解决哪几种解三角形问题？

生：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

设计意图：引导学生对所学知识回顾，反思余弦定理的掌握情况，同时为后继知识的学习做铺垫.

(二)情境引入，教师PPT播放京台高铁的动画.

同时播报以下内容：在近期出炉的《国家综合立体交通网规划纲要》中，已明确要将京台高铁列入2021-2035年建设的国内交通主轴之中，京台高铁再次引发国人瞩目。京台高铁，编号G3。线路：北京—新竹—台北，全长2030公里.

教师十分激动地说：“同学们你们知道这预示着什么？这预示着祖国已经强大，台湾必将回归祖国怀抱！国家建设正需要人才，我们要更加努力学习，报效祖国！”

生：鼓掌……

师：“那么现在我们就来做一些力所能及的事情，由于一些台独分子不让我们跨过海峡测量福州到新竹这段距离，现在工作人员已经测出了福州到泉州这段距离，且测量出了图上的两个角，你能计算福州到新竹这段距离吗？”

生：“我添加了辅助线，过A作AD⊥BC于D，在RtΔABD中，AD=803，在RtΔADC

设计意图：情境引入将教学内容和社会热点相结合，利用京台高铁问题来激发学生的认知，让学生认识到数学来源于生活，服务于生活，从而激发了学生学习数学的兴趣，将立德树人融入教学环节，厚植了学生的爱国主义情怀.由于问题难度不大，对学困生来说，能够利用初中知识解决，学困生能够尝试到成功的喜悦，充分调动了他们的积极性，同时也为正弦定理的证明提供了一种方法

(三)定理证明

师：“刚才问题情境中，我们可以抽象出这样一个数学问题:在?ABC中，已知角A和角B，求b.刚刚是通过作辅助线构造直角三角形求解，我们再探究一下有没有更直接的公式求解呢？这就是我们今天要学习的正弦定理.”

图1图2

师：“波利亚说过类比是伟大的领路人,你能类比余弦定理的向量的证明方法得到三角形中边和角的正弦的关系吗？”

生：“过A作AD⊥BC于D，利用向量等量关系BC=AC?AB,两边点乘AD,得BC?AD=AC?AB??AD=AC??AD?AB?AD，因为

师：“这种证明方法你是如何想到的？”

生：“数量积得到的是边和角的余弦的关系，而我们要想得到角的正弦，必须构造三角形中角的余角，所以想到了构造直角三角形，得到了互余的关系.”

师：“你发现了问题的本质，很好！但对于任一三角形，点D一定落在线段BC上吗？”

生：“不一定，还要讨论角C为直角或钝角的情况.”

师：“我们不仅要会证明，还要知道为什么要这样证明.我们知道向量的数量积是刻画几何中的长度和角的运算.所以通过构造向量的数量积正能得到三角形中的边和角的关系.”

师：“刚刚的证明方法我们称为向量法，请大家想想还有其它的证明方法吗?”

生：“也是过A作AD⊥BC于D，RtΔABD,AD=csinB,RtΔADC,

所以bsinC=csinB，即bsinB=C

师：“同样的问题，点D一定落在线段BC上吗？”

生：“不一定，还要讨论角C为直角或钝角的情况.”

师：“这种方法我们成为几何法.”

设计意图:肯定学生的优点，是课堂教学中爱的教育最根本的体现，教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、和鼓舞，让学生得到爱，体会到自己的价值.教学中教师要及时抓住学生回答问题的切入点，对学生予以肯定和赞许的眼光，鼓励学生联系知识关联点、生长点，诱发学生对一个数学问题从多方位、多角度去探索联想,让学生感受到来自教师的爱，加深学生对所学知识的理解，促进学习有效地进行.

（四）定理理解

由此我们不