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相似三角形的判定

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相似三角形的判定全文共1页，当前为第1页。第二讲：相似三角形的判定

相似三角形的判定全文共1页，当前为第1页。

相似三角形概念

1.判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

角对应相等、边对应成比例，三角形相似

三角形一边的平行线与另外两边所在的直线相交所得到的的新三角形与原三角形相似

2、在中，，的延长线交的延长线于，求证：．

三条边对应成比例，两三角形相似

3.如图所示，如果分别在上，且．求证：．

相似三角形的判定全文共2页，当前为第2页。4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？

相似三角形的判定全文共2页，当前为第2页。

图（1）图（2）图（3）图（4）

两角对应相等，两三角形相似

6、如图所示，,交于点为上一点，且．求证：（1）；（2）．

7、如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。

求证：（1）△ABD∽△DCB（2）BD2=AD·BC

相似三角形的判定全文共3页，当前为第3页。8、已知：如图，，，，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

相似三角形的判定全文共3页，当前为第3页。

两边对应成比例且夹角相等，三角形相似

9.已知，如图，为内一点连结，以为边在外作．

求证：．

10、在和中，，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为．

11、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

相似三角形的判定全文共4页，当前为第4页。12、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=．

相似三角形的判定全文共4页，当前为第4页。

13、如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．

（1）求证：≌．

（2）若，，，求的值．

?

14、如图，在直角梯形中，，为上一点，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，那么这样的点有几个？为什么？

相似三角形的判定方法总结：

1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2.三边成比例的两个三角形相似.（SSS）

3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)

4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)

相似三角形的判定全文共5页，当前为第5页。“反A”型与“反X”型.

相似三角形的判定全文共5页，当前为第5页。

示意图

结论

反A型：

如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB（AA），∴AE·AC=AD·AB.

若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)

反X型：

如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC（AA），∴OA·OC=OD·OB.若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.

“类射影”与射影模型

示意图

结论

类射影：

如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴=AD·AC.

射影定理

如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图

结论

旋转相似：

如图，已知△ABC∽△ADE，则，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD∽△CAE（SAS）

一线三等角：

如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA）

相似三角形的判定全文共6页，当前为第6页。15、已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB

相似三角形的判定全文共6页，当前为第6页。

16、如图，已知，求证：

技巧一：三点定型

17、如图，平行四边形中，是延长线上的一点，交于，求证：．

18.如图，中，，为的中点，交的延长线于，交于．求证：

相似三角形的判定全文共7页，当前为第7页。技巧二：等线段代换

相似三角形的判定全文共7页，当前为第7页。

19.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：

21.如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，交于，．求证：．

21.如图