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全等三角形“开放性”试题

全等三角形中的“开放性”试题例析

在近几年的中考试题中，各省市经常以此考点出开放性试题，这类试题有些还有点难度，要求大家学会处理这类试题的思路，为此本文精选几题供大家赏析:

一、补充条件型

ADBC图1例1(广东省深圳市)如图1，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB

A

D

B

C

图1

【分析】要使△ABC≌△DCB，题中已具备两个条件AC＝BD（已知），BC＝CB（公共边），所以从全等三角形的判定上考虑增加边与夹角．

解:根据三角形全等的判定方法SAS可填∠ACB＝∠DBC，根据SSS可填AB＝DC．

评析:①本题探求使结论成立的条件不止一个，解答时要注意将添加的条件和题目中已知条件一起推导出结论成立；②但此题部分同学易填∠A＝∠D，这是错误的，没有这个“两边和一边的对角对应相等的两个三角形全等”的判定．

二、判断或写出结论型

例2(广州市)如图2，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论:①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，请写出准确结论的序号．（注:将你认为准确的结论序号都填上）

图2【分析】本题成立的结论不止一个，必须一个一个实行筛选．

图2

解:∵CB为△AEC的中线，

∴AE＝2AB，∵AB＝AC，∴AE＝2AC，故①准确；

延长CD到F，使DF＝CD,∵CD为△ABC的中线，

∴AD＝BD，∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD（SAS）

∴AC＝BF，∠A＝∠ABF；∵AC＝AB＝BE，

∴BF＝BE，∠ACB＝∠ABC，

∵∠CBE＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，∴∠CBE＝∠CBF，∵BC＝BC，

∴△BCF≌△BCE，∴CE＝CF＝2CD，∠ECB＝∠FCB，即CB平分∠DCE．故②④也准确．所以填①②④．

评析:本题属于结论开放题，这对学生的水平要求也较高，必须将准确的结论找对、找全．另外在解与三角形的中线相关问题时，如果不能直接求解（证），则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解（证），这也是一种常作的辅助线．

图3三、条件、结论组合型

图3

例3（漳州市）如图3，给出五个等量关系:①AD＝BC，②AC＝BD，③CE＝DE，④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个准确命题(只需写出一种情况)，并加以证明．

全等三角形“开放性”试题全文共1页，当前为第1页。【分析】本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等，应有三角形全等的三个条件，而题目要求只能用所给等量关系中的两个，所以就要找出图形隐含的等量关系．（AB可作公共边；∠DEA＝∠CDB

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解:以AB为公共边来考虑以下几种有:

（1）①AD＝BC，⑤∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得②，③，④的结论．

（2）①AD＝BC，②AC＝BD，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得③，④，⑤的结论．

（3）②AC＝BD，AB＝BA，⑤∠DAB＝∠CBA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得①，③，④的结论．

以∠DEA＝∠CDB，是对顶角来考虑有:

（1）③CE＝DE，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得①，②，⑤的结论．

（2）①AD＝BC，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得②，③，⑤的结论．

评析:本题集开放性和设计于一体，其设计背景是利用三角形的全等变换，结合所给出的制约条件，编制真命题．这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思维，也是近几年各类考试中常出现的新题型．

练习:

E图4图5图5图61、(长沙市)如图4，AB＝AC，要使，应添加的条件是____________

E

图4

图5

图5

图6

2、（长沙市）如图5，已知MB＝ND，∠MBA＝NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN．（）

Ａ．∠M＝∠N；Ｂ.AB＝CD，Ｃ.AM＝CN；Ｄ.AM∥CN．

3、（海南省）如图6，△ABC≌AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）

Ａ．1个；Ｂ．2个；Ｃ．3个；Ｄ．4个．

全等三角形“开放性”试题全文共2页，当前为第2页。4、（扬州市）如图7，在△ABC和△DEF中，B，E，C

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AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠D