抛物线与三角形面积.doc

抛物线与三角形面积

抛物线与三角形面积

抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：

（1）以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：

SΔ=|x1-x2|·||=··||

（2）以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为

SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|

（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。

解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1,x2=3,

抛物线与三角形面积全文共1页，当前为第1页。∴AB=|x2-x1|=|3-1|=2.∴SΔABC=×2×=.

抛物线与三角形面积全文共1页，当前为第1页。

例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD

=××||+××|2|=.

例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

解：由得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；

抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，

AB=＝2，BC=＝3，

AC=＝。∵AC2+BC2=AB2，

∴ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，

∴SΔABC=AC·BC=××3=3。

2．求抛物线的解析式

例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。

抛物线与三角形面积全文共2页，当前为第2页。解：∵对称轴为直线x=-2,∴-=-2,∴b=4,

抛物线与三角形面积全文共2页，当前为第2页。

∴y=x2+4x+c,

∵SΔAMB=··||=·||=8，

∴c=0,∴y=x2+4x.

例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。

解：如图3，∵SΔACB=AC·BC，

即150=×20·BC，∴BC=15，

∴AB===25，又∵OC⊥AB，∴SΔACB=AB·OC

即150=×25·OC，∴OC=12，故C点坐标为（0，12），

∴AO==16，OB=AB-AO=25-16=9，

∴点A为（-16，0），点B为（9，0），∵二次函数的图像过A、B、C三点，

抛物线与三角形面积全文共3页，当前为第3页。∴解得，

抛物线与三角形面积全文共3页，当前为第3页。

∴所求解析式为：y=-x2-x+12.

3．求抛物线解析式中字母系数的值。

例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,

(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。

解：（1）Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40,

∴不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。

（2）SΔ=··|c|=··|m-2|=4.

即(m-2)4+4(m-2)2-320=0解得m=6或m=-2.

例7．设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当ΔOMB为等腰直角三角形时，求k的值。

解：如图4，作MN⊥x轴于N点，∵ΔOMB为等腰直角三角形，∴MN=OB，

即||=·，

∴k1=0,k2=-.又∵抛物线与x轴有两个相异交点，

抛物线与三角形面积全文共4页，当前为第4页。∴Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k0.∴k-，故取k=0。

抛物线与三角形面积全文共4页，当前为第4页。