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计算题增分练(三)

(时间：35分钟)

1.(2023·江苏卷，14)“夸父一号”太阳探测卫星可以观测太阳辐射的硬X射线。硬X射线是波长很短的光子，设波长为λ。若太阳均匀地向各个方向辐射硬X射线，卫星探测仪镜头正对着太阳，每秒接收到N个该种光子。已知探测仪镜头面积为S，卫星离太阳中心的距离为R，普朗克常量为h，光速为c，求：

(1)每个光子的动量p和能量E；

(2)太阳辐射硬X射线的总功率P。

答案(1)eq\f(h,λ)heq\f(c,λ)(2)eq\f(4πR2Nhc,λS)

解析(1)根据德布罗意波长公式，可得每个光子的动量为p＝eq\f(h,λ)

每个光子的频率为ν＝eq\f(c,λ)

每个光子的能量为E＝hν

故每个光子的能量为E＝heq\f(c,λ)。

(2)卫星离太阳中心的距离为R，离太阳中心距离为R的球面的表面积为S球＝4πR2

单位面积上的功率为P0＝eq\f(NE,S)

太阳辐射硬X射线的总功率P＝S球P0

联立解得P＝eq\f(4πR2NE,S)＝eq\f(4πR2Nhc,λS)。

2.如图1所示，质量为1kg的物块A静止在半径R＝0.9m的四分之一光滑圆轨道的最高点，A的正上方O点用长L＝0.1m的轻绳悬挂一质量为3kg的物块B。将物块B向左拉起使轻绳与竖直方向成60°角后由静止释放，之后B在O点正下方与A发生弹性碰撞。轻绳始终处于拉直状态，A、B均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，求：

图1

(1)碰后瞬间物块A对圆弧轨道的压力大小；

(2)物块A离开圆弧轨道时的速率。

答案(1)7.5N(2)eq\f(3\r(3),2)m/s

解析(1)设A的质量为m1，B的质量为m2，物块B向下运动的过程中，重力势能转化为动能，

设B与A碰撞前瞬间的速度为v0，则由机械能守恒定律可得

m2gL(1－cos60°)＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,0)

A、B发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得

m2v0＝m1v1＋m2v2

eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)

对碰后瞬间的A进行受力分析，由牛顿第二定律有

m1g－FN＝eq\f(m1veq\o\al(2,1),R)

解得FN＝7.5N

由牛顿第三定律可得碰后瞬间A对圆弧轨道的压力大小为

FN′＝FN＝7.5N。

(2)设A离开轨道时所在位置P与圆心O′的连线与竖直方向的夹角为α，此时物块A的速度为v3，

则只有重力沿径向的分力提供向心力，有

m1gcosα＝eq\f(m1veq\o\al(2,3),R)

物块A从开始运动到P的过程中机械能守恒，有

m1gR(1－cosα)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,3)－eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)

解得v3＝eq\f(3\r(3),2)m/s。

3.如图2所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和eq\f(E,2)，区域Ⅱ内有垂直于纸面向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入区域Ⅰ的电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入区域Ⅱ的磁场，并垂直于竖直边界CD进入区域Ⅲ的匀强电场中。求：

图2

(1)粒子在区域Ⅱ的匀强磁场中运动的轨迹半径；

(2)O、M间的距离；

(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。

答案(1)eq\f(2mv0,qB)(2)eq\f(3mveq\o\al(2,0),2qE)(3)eq\f(（\r(3)＋8）mv0,qE)＋eq\f(πm,3qB)

解析(1)粒子在区域Ⅰ的匀强电场中做类平抛运动，水平方向上为匀速直线运动，设粒子过A点时速度为v，由平抛运动的规律知v＝eq\f(v0,cos60°)

粒子在区域Ⅱ的匀强磁场中做匀速圆周运动，

由牛顿第二定律得qvB＝meq\f(v2,R)

解得R＝eq\f(2mv0,qB)。

(2)设粒子在区域Ⅰ的电场中运动时间为t1，加速度为a，

有qE＝ma

v0tan60°＝at1

解得t1＝eq\f(\r(3)mv0,qE)

O、M两点间的距离为L＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(3mveq\o\al(2,0),2qE)。

(3)设粒子在区域Ⅱ的磁场中运动时间为t2，由几何关系知，轨迹的圆心角

∠AO1D＝60°，

则t2＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3qB)

设粒子在区域Ⅲ的电场中