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证明三角形内心判定方法(1)

证明三角形内心判定方法(1)全文共1页，当前为第1页。证明三角形内心判定方法

证明三角形内心判定方法(1)全文共1页，当前为第1页。

在三角形中，三个内角的三条角平分线的相交于一点，这个点是这个三角形内切圆的圆心，也叫做三角形的内心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

作∠B、∠C的角平分线于AC、AB交于F、D

CD与BF交于I，连接AI交BC并延长至E

由塞瓦定理有：

BF、CD为角平分线

由角平分线定理有：

由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线

证明三角形内心判定定义

角平分线的一共性质：角平分线分对边与该角的两边成比例。

在△ABC中，连接BO交AC于E，O是内心，所以BE是∠B的角平分线，而且AD过内心O(均为内心的定义所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分线，所以有AB/BD=AO/OD,

证明三角形内心判定方法(1)全文共2页，当前为第2页。同理AO/OD=AC/CD

内心：三角形三条角平分线的交点，也是内接圆的圆心。

此题用到的定理的证明

△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，abc是角的对边ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinCd=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD，CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

证明三角形内心判定性质

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).

5、在△ABC中，内心的坐标是：

6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，外心和内心的距离为d，则d?=R^2-2Rr

证明三角形内心判定方法(1)全文共3页，当前为第3页。7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)

内切圆

8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2，BP=BQ=(a+c-b)/2,CR=CQ=(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC、∠ABC、∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A、B、C,则BA/CA=AB/AC,AB/CB=BA/BC,AC/BC=CA/CB

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