第一章-复数与复变函数.doc

复变函数与积分变换

参考用书

《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社

《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5

第一章复数与复变函数

一.目的要求

1熟练掌握复数的各种表示法及其运算

2深刻理解复变函数的概念；理解区域、复平面、扩充复平面、简单曲线及概念。

3了解复变函数的极限与连续。

二.主要内容

1复数的五种表示法[〔a,b〕、a+ib、向量、三角形式、指数形式]及其运算。

2复数的模、辐角、共轭复数及简单运算。

3#复数在几何中的应用。

4棣莫拂公式和复数的n次方根。

5平面点集，区域〔单连通，复连通〕，曲线〔连续曲线、简单曲线〕，复平面。

6无穷远点，Δ复球面，扩充复平面。

7复变函数概念，*几何意义，极限与连续。

重点：复数的表示法及其运算，复变函数的概念。

难点：单连通域，复连通域，*复变函数的几何意义。

内容提要:复变函数就是自变量为复数的函数,本章先学习复数的概念、性质与运算,然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续.本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些根本概念有相似之处,可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广.

1.1复数

1.2复数的三角表示

1.3平面点集的一般概念

1.4无穷大与复球面

1.5复变函数

本章小结

思考题

第一节复数

一、复数的根本概念

定义1:设与都是实数,称为复数,记为:

称为的实部(Real),记

称为的实部,记

例如:那么

特别地,当时,那么为实数;当且时,那么,称为纯虚数;

定义2:设两复数与,那么即

二、复数的代数运算

1.复数的和、差、积、商

设两复数与,那么:

和与差:

积:

商:

复数的运算满足交换律、结合律、分配律.

2.共扼复数及性质

定义3:设复数,那么称复数为的共轭复数,记做.

重要性质:

例1.计算复数

解:法一(商的公式)

法二(共轭性质)

应用共扼性质来计算显得简单,在后面计算中要灵活运用共轭.

例2.设,求实数.

解:由题意得

解得:或.

例3.设复数,求与.

解:因为

所以

例4.设为两个任意复数,证明:.

证明:证法一:

证法二:

第二节复数的表示法

一、复平面

定义:由实轴(轴),虚轴(轴)按直角坐标系构成的平面,称为复平面(或平面),

在复平面内任意一点与复数是一一对应的.

复数的模:

复数的幅角:

主幅角:,

即:一复数的辐角是多值的

二、复数的表示法

1.复数的向量表示法

,因此,显然有不等式:

;

表示与的距离,共轭复数之间的几何关系与,关于轴对称且有:,

2.复数的三角表示法

利用直角坐标与极坐标的关系:

复数的三角表示式:

3.复数的指数表示法

利用欧拉公式:

复数的指数表示式:

注意:复数的三角表示式不是唯一的,因为辐角有无穷多种选择,如果有两个三角表示式相等:

那么可以推出:其中为整数

例1.将化为三角表示式和指数表示式.

解:因为幅角在第三象限,那么

于是

主幅角值确实定:

练习将化为三角表示式和指数表示式.

解:模主辐角

例2.将直线方程化为复数表示式.

解:由于,,可得:,

代入得:,化简得:

即:为复数形式的直线方程,复数形式的直线方程为

定义:复数形式的参数方程,

假设平面上曲线的参数方程为:,那么定义为复数形式的参数方程

例3.通过两点与的直线用复数的参数方程来表示

解:通过两点与的直线方程为

参数方程为

由参数式得复数形式参数方程为

所以连接与的直线段的参数方程为:

记住:过与两点的直线段的参数方程为:

例4.求以下方程所表示的曲线

解:(1)表示与点距离为2的点的轨迹,即圆心为,半径为2的圆化为直角坐标方程:即,化简得:.

(2)到与距离相等点的轨迹,即表示曲线是连接和的线段的垂直平分线化为直角坐标方程为:

(3).设,那么代入得:,即:

三、复数的三角表示及指数表示作乘除法

设有两复数那么

即:模辐角

定理1:两个复数乘积的模等于它们模的乘积,幅角等于它们的幅角之和.

说明:(1)多值函数相等的理解:由于幅角是多值的,理解为:对于左端的任一个值,右端有一值与它对应,反之也一样;

例如:假设,那么成立.

假设,那么不成立.

(2)当用向量表示复数时,表示乘积的向量是从表示的向量旋转一个角度,并伸长(缩短)到倍得到.

例