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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第03讲-简易高次方程的解法

第三讲简易高次方程的解法

在整式方程中,如果未知数的最高次数超过2,那么这种方程称为高

次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法,但比较复杂,且超过

了初中的知识范围,五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法,这

由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明,这些内容我们不讨

论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方

程来解答．

例1解方程

32

x-2x-4x＋8=0．

解原方程可变形为

2

x(x-2)-4(x-2)=0,

(x-2)(x2-4)=0,

2

(x-2)(x+2)=0．

所以

x＝x＝2,x=-2．

123

32

说明当ad=bc≠0时,形如ax＋bx＋cx＋d=0的方程可这样

=0

可化为

32

bkx+bx+dkx+d=0,

2

即(kx+1)(bx+d)=0．

43

方程ax+bx+cx+d=0也可以用类似方法处理．

例2解方程

(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．

解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘,第二个因式与第三个因

式相乘,得

22

(x+5x-14)(x＋5x＋4)=19．

设

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则

(y-9)(y+9)=19,

2

即y-81＝19．

说明在解此题时,仔细观察方程中系数之间的特殊关系,则可用换元

法解之．

例3解方程

2

(6x＋7)(3x+4)(x+1)=6．

解我们注意到

2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1,

6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1,

所以利用换元法．设y=6x＋7,原方程的结构就十分明显了．令

y=6x＋7,①

2

由(6x＋7)(3x＋4)(x＋1)=6得

2

(6x＋7)(6x＋8)(6x＋6)=6×12,

即

2

y(y＋1)(y-1)=72,

42

y-y-72＝0,