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北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．函数在区间上的平均变化率等于（????）

A．2 B． C． D．0

2．下列求导结论错误的题（????）

A． B． C． D．

3．下列导数计算错误的是（????）

A． B． C． D．

4．实数在上的极大值点为（????）

A． B． C． D．

5．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（????）

??

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

6．已知函数，给出下列结论:

①的零点是0；

②时，；

③若直线与曲线总有两个不同交点，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是（????）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

7．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，下列叙述中不正确的一项是（????）

A．在上单调递增 B．无极值点

C．有唯一零点 D．曲线只有一条斜率为0的切线

9．下列不等式中正确的是（????）

A． B． C． D．

10．数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.

??

过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值；

过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.

当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系.

给出以下结论:

①切线的方程为；

②；

③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为.

其中所有正确结论的个数为（????）

A．3 B．2 C．1 D．0

二、填空题

11．已知函数，其定义域为，导函数.

12．已知曲线，则在处的切线方程为，过原点的切线方程为.

13．函数的对称中心为，零点个数为.

14．已知函数，

①若函数有极大值，则的取值范围是.

②若存在实数使得方程无实根，则的取值范围是.

15．已知函数，若对于任意，存在，都有，则的取值范围为.

三、解答题

16．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：

如果函数满足如下条件：

①的图象在闭区间上是连续不断的；

②在区间上都有导数.

则在区间上至少存在一个数，使得.

这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中称为拉格朗日中值.

请阅读以上内容，回答以下问题:

⑴函数在区间上的拉格朗日中值为；

⑵下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上.

①；????②；????③；????④；????⑤

17．已知函数.

(1)求函数单调区间与极值；

(2)求函数在区间上的最值.

18．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)设函数，求证：当时，在上存在极小值，且极小值大于1.

19．已知函数.

(1)比较与0.33的大小，并加以证明；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)证明：当时，.

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参考答案：

1．A

【分析】根据题意结合平均变化率的定义运算求解.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

2．C

【分析】根据导数公式即可判断A，B，C，根据导数的运算法则直接计算即可判断D.

【详解】因为，故A正确；

因为，故B正确；

因为，故C错误；

因为，所以，故D正确.

故选：C.

3．D

【分析】根据函数求导法则运算即可.

【详解】对于，，故正确；

对于，，故正确；

对于，，故正确；

对于，，故错误.

故选：.

4．B

【分析】对函