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广东省惠州市大亚湾经济技术开发区第一中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知a为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（????）

A．3 B．6 C． D．6

2．已知向量，若，则等于

A． B． C． D．

3．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为

A．1∶2 B．1∶

C．1∶ D．∶2

4．已知的面积为，，，则（????）

A． B． C． D．2

5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（????）

A． B． C． D．

6．已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（???）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

7．在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（）

A． B． C． D．

8．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（???）

A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为

10．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（???）

A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（????）

A．在棱上存在点，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

三、填空题

12．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为（用代数形式表示）.

13．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为.

14．在中，内角所对的边分别为，若，则，的最大值为.

四、解答题

15．已知复数.

（1）设，求；

（2）若，求实数?.

16．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：平面PAC；

(2)求证：

17．如图所示，在中，已知，,.

（1）求的模；

（2）若，，求的值.

??

18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.

(1)求角B；

(2)若，求周长的最小值.

19．如图1，在梯形中，，，，.现将梯形沿对角线折成直二面角，如图2.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正切值.

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参考答案：

1．D

【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.

【详解】解：由已知，解得，故，其虚部为，

故选D.

【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.

2．C

【详解】试题分析：由可得，所以.

考点：向量的坐标运算.

3．C

【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案

【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．

【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．

4．A

【分析】根据面积公式可求得.由余弦定理即可求出.根据正弦定理，即可推得.

【详解】由可得，，

所以.

由余弦定理可得，，

所以.

由正弦定理可得，.

故选：A.

5．B

【解析】计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出所求结果.

【详解】在中，，，.

在中，，，.

由正弦定理，得，得.

在中，，

故此无人机距离地面的高度为，

故选：B.

【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

6．D

【分析】连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，所以证明平面，得到，再由线面垂直得到，即可得到平面，从而得到，同理可证，即可得解.

【