人教A版高中数学必修第一册第四章4-5-3函数模型的应用课件.ppt

探究3拟合数据构建函数模型解决实际问题【链接·教材例题】例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借用信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图象(图4.5-9)．由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.31670，即log7x＋10.25x．所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%．综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．[典例讲评]3．某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察试验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据：x0234y42562.5156.254.5.3函数模型的应用第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)[学习目标]1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)[讨论交流]预习教材P148－P154，并思考以下问题：问题1．应用指数型函数模型、对数型函数模型解决实际问题时应注意些什么？问题2．建立函数模型解决实际问题的流程是什么？整体感知[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1应用已知函数模型解决实际问题探究建构【链接·教材例题】例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766－1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数．(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型．(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和增长率r．解：(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55196，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207＝55196e9r，由计算工具得r≈0.021876．因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0.021876t，t∈[0，9]．(2)分别取t＝1，2，…，8，由