数学-人教A版-一轮复习-课件1：专题一高考中的导数应用问题.pptx

专题一高考中的导数应用问题01

考点1利用导数研究函数的图象问题函数图象问题是高中数学中的一个重要问题,通常是将题目给出的函数的图象转化为基本初等函数的变换,再进行求解,但还有一类是通过导函数研究原函数图象、通过原函数研究导函数的图象,这也是高考中一个易考点.

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给定解析式求函数的图象是近几年高考的重点,多数需要利用导数研究单调性,知其变化趋势,利用导数求极值(最值)研究零点,其中数形结合是解决这一问题的重要思想方法.

考点2利用导数研究函数的零点与方程的根的问题试题一般是以含参数的三次式,分式,指数式、对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是每年高考命题高频热点,常有以下两种考查形式:(1)确定函数的零点、图象的交点及方程根的个数问题;(2)应用函数的零点、图象的交点及方程根的存在问题来求参数值或范围.

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1.利用导数确定方程根的个数与函数零点的方法(1)构建函数g(x)(g(x)要易求或g(x)可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义域区间端点值的符号(变化趋势)等,画出g(x)的大致图象,数形结合求解;

(2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点的符号,进而判断函数在该区间上的零点个数.

2.利用方程根的个数与函数零点的个数求参数取值范围构建函数g(x)(g(x)要易求或g(x)=0可解),利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义域区间端点值的情况等,画出g(x)的大致图象,数形结合得参数的取值范围或关于参数的不等式(组)再求解.

考点3利用导数研究不等式问题利用导数解决不等式问题是高考命题专家每年热衷的话题之一,通常涉及不等式恒成立问题、不等式存在性问题、证明不等式及不等式大小比较问题:(1)对于不等式恒成立(存在)问题,一般考查的是三次式、分式、指数式及对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在),求参数的取值范围;

(2)证明不等式问题一般是证明与函数有关的不等式在某个区间内成立;(3)大小比较问题通常是作差后不容易转化为常规的三次式、分式、指数式、对数式及三角式结构,此时转化为利用导数研究构建的新函数的单调性或极值(最值),进而求解

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(1)证明不等式的关键在于要构造好函数的形式,转化为研究函数的最值或值域问题,有时需用到放缩技巧.(2)求证不等式f(x)≥g(x)恒成立(存在)问题,一种常见思路是用图象法来说明函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方,但通常不易说明,而是转化为构造函数F(x)=f(x)-g(x),通过导数研究函数F(x)的最值问题,进而证明原不等式恒成立(存在).

考点4利用导数研究应用题中的最优化问题以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.

典例4一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).(1)求V关于θ的函数表达式;(2)求θ的值,使体积V最大;(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.

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利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数y=f(x)的导数f(x),解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题进行检验,作出正确的答案.

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