(word完整版)初中数学专题训练--二次根式--最简二次根式.doc

初中数学

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典型例题一

例01．下列各式中属于最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

分析因

解答A

说明最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式.

典型例题二

例02．在二次根式中，，，，，最简二次根式的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

分析因为，，都不是最简二次根式，所以最简二次根式有2个.

解答B

说明最简二次根被开方数中因数次数只能小于2，且不能含有分母.

典型例题三

例03．在根式，，，，，，，，中，最简二次根式的个数为（）.

A．2B．3C．4D．5

分析的被开方数是分式，的被开方数中含有分数因数，=，，它们和中都含有能开得尽方的因数或因式，所以这几个二次根式都不是最简二次根式.

解答C

说明考查最简二次根式的意义.

只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解.读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.

典型例题四

例04．化简

分析原式=

因，，

故原式=

解答

说明化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外.如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.

典型例题五

例05．（1）化简：

（2）.

分析（1）因，则，

故

（2）因，，

故

解答；

说明在（1）中隐含，即的条件；在（2）中隐含，即.

典型例题六

例06．化简

解答∵，∴，.

∴

说明本题中与的大小关系，是以隐含的形式给出的.

被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.

典型例题七

例07．化简：

解答1：∵，∴，

原式=

解答2：∵，∴，

原式=

说明可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内.

典型例题八

例08．把下列二次根式化成最简二次根式：

（1）；（2）；

（3）（4）

解答（1）原式=

（2）原式==

（3）原式=

（4）原式==

说明考查二次根式的化简

（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便.

典型例题九

例09．化简下列根式：

（1）；（2）；（3）

解答（1）由被开方式知

∴原式=

（2）由根式有意义知即

∴原式=

（3）∵，又知

∴原式==

说明考查根式的化简方法.

化简根式时，常要将某些代数式移出或移入根号，但一定要注意字母的取值范围，必须保证移出或移入前后根式中符号（正负）性质不变.

典型例题十

例10．当时，求的值.

分析因为，分母有理化后，有.

又，

把代入，得

原式=.

说明一般而言，对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算，而是必须先化简再注值.本题多项式已经化简了，故就应把代入，但考虑到x的值是个无理数，又是分母上有根号，就应把它分母有理化以后再代入，也就是说把代入代数式就显得比较简单.同时，尽管多项式已经很简了，如果我们稍作变换，能使代入运算更加方便，也就是的式化为，运算更简.

如果把字母的取值不分青红皂白代入原式，就可能运算很繁，导致错误.第一要把字母的取值化简，第二要把代数式化简再根据代数式的特点，适当作一点变换，就能简捷地求出代数式的值.

典型例题十一

例11．已知，化简：

（1）；（3）

解答∵，即

∴且

即，

∴（1）

（2）

说明注意到所求的根式的被开方数是一个完全平方数，开方之后得到绝对值，显然需要a，b的范围.这一点可由已知条件利用被开方数非负得到.

分析问题往往从结论入手，才想到如何更好地利用已知.本例容易陷入误区情形有：①想求a，b的具体值；②想不到隐含条件；③不注意变形条件为；④看不到被开方数是完全平方数.

选择题

1．选择题

（1）把化为最简二次根式为（）

（A）（B）（C）（D）

（2）下列各式中是最简二次根式的是（）

（A）（B）（C）（D）

（3）下列各式中不是最简二次根式的是（）

（A）（B）（C）（D）

（4）二次根式，，，，，，中最简二次根式的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

（5）下列二次式中最简二次根式是（）

（A）（B）（C）（D）

（6）化简得最简二次根式为