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计算题增分练(二)

(时间：35分钟)

1.(2023·江西高三校联考)在空气中放置的直角三棱镜，顶角为θ。由两种频率的激光复合而成的光束垂直棱镜左侧面入射，经过棱镜后不同频率的光分成A、B两束，已知两束激光在棱镜中的折射率分别为n1＝eq\r(2)和n2＝eq\r(3)。不考虑多次反射和折射。

图1

(1)若θ＝30°，求A、B两光束之间的夹角；

(2)为使两种频率的激光都不能从棱镜斜面射出，求θ满足的条件。

答案(1)15°(2)θ≥45°

解析(1)令A、B两光束的折射角分别为α1、α2，

则有n1＝eq\f(sinα1,sinθ)，n2＝eq\f(sinα2,sinθ)

解得α1＝45°，α2＝60°

则有α2－α1＝15°。

(2)令A、B两光束的临界角分别为C1、C2，

则有sinC1＝eq\f(1,n1)＝eq\f(\r(2),2)，sinC2＝eq\f(1,n2)＝eq\f(\r(3),3)

可知C1＝45°C2

为使两种频率的激光都不能从棱镜斜面射出，则有θ≥45°。

2.(2023·河北模拟预测)如图2所示，空间有一xOy直角坐标系，其第Ⅰ象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为＋q(q0)的粒子从y轴上的P点以某一初速度v0垂直进入磁场，方向与y轴正方向成θ＝60°角。粒子从x轴上进入匀强电场时，速度方向与x轴负方向也成θ＝60°角，最后从y轴上的Q点垂直y轴飞出电场。已知P点到坐标原点O的距离为d，不计带电粒子的重力。求：

图2

(1)磁感应强度B与电场强度E的大小；

(2)粒子从P点运动到Q点所用的时间t；

(3)粒子在电场中运动的过程动量变化量Δp的大小。

答案(1)eq\f(（1＋\r(3)）mv0,2qd)eq\f(\r(3)mveq\o\al(2,0),4qd)(2)eq\f([5（\r(3)－1）π＋12]d,6v0)(3)eq\f(\r(3),2)mv0

解析(1)粒子在第Ⅰ象限做匀速圆周运动，在第Ⅳ象限做类斜抛运动，运动轨迹如图所示。

在磁场中，由几何关系得

d＝r(sinθ＋cosθ)

由牛顿第二定律，

得qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),r)

联立解得B＝eq\f(（1＋\r(3)）mv0,2qd)

在电场中，有r(sinθ＋cosθ)＝v0cosθ·t2

qE＝ma

v0sinθ＝at2

联立解得E＝eq\f(\r(3)mveq\o\al(2,0),4qd)，t2＝eq\f(2d,v0)。

(2)粒子在磁场中的运动周期T＝eq\f(2πm,qB)

粒子在磁场中的运动时间

t1＝eq\f(360°－90°－2×60°,360°)T＝eq\f(5,12)T

粒子从P点运动到Q点所用的时间t＝t1＋t2

联立解得t＝eq\f([5（\r(3)－1）π＋12]d,6v0)。

(3)对粒子在电场中的运动过程，

由动量定理得Δp＝－qEt2

解得动量变化量的大小Δp＝eq\f(\r(3),2)mv0。

3.(2023·安徽滁州二模)如图3所示，PMN和P′M′N′是两条足够长、相距为L的平行金属导轨，MM′左侧圆弧轨道表面光滑，右侧水平轨道表面粗糙，并且MM′右侧空间存在一竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在左侧圆弧轨道上高为h处垂直导轨放置一导体棒AB，在右侧水平轨道上距AB棒足够远的地方，垂直导轨放置另一导体棒CD。已知AB棒和CD棒的质量分别为m和2m，接入回路部分的电阻分别为R和2R，AB棒与水平轨道间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道与水平轨道平滑连接且电阻不计。现将AB棒由静止释放，让其沿轨道下滑并进入磁场区域，最终运动到距MM′为d处停下，此过程中CD棒因摩擦一直处于静止状态。重力加速度为g，求：

图3

(1)AB棒刚进入磁场时所受安培力F安的大小；

(2)整个过程中AB棒上产生的焦耳热Q；

(3)若水平轨道光滑，则从AB棒开始运动到最终处于稳定状态的过程中，通过AB棒的电荷量q为多少？

答案(1)eq\f(B2L2\r(2gh),3R)(2)eq\f(1,3)mg(h－μd)(3)eq\f(2m\r(2gh),3BL)

解析(1)AB棒下滑到MM′处，根据机械能守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mv2

此时E＝BLv

由闭合电路欧姆定律可得I＝eq\f(E,R＋2R)

由安培力公式可得F安＝BIL

联立解得F安＝eq\f(B2L2\r(2gh),3R)。

(2)AB棒进入磁场后，

根据动能定理得W安－μmgd＝0－eq\f(1,2)mv2

回路中产生的焦耳热Q总＝－W安

又因两导体棒电流相同，则A