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计算题增分练(一)

(时间：35分钟)

1.(2023·河北高三统考)如图1所示，压力罐左端与水泵相连，右端通过较细的管道与汽缸相连。压力罐与汽缸的底面积均为S，压力罐的高度为h，汽缸足够高。装置的气密性和导热性良好，活塞可与汽缸壁无摩擦地滑动。活塞的重力大小为eq\f(1,3)p0S，初始时压力罐中封闭气体的压强为p0，活塞在汽缸底部。外界大气压为p0，外界温度保持不变，不计管道中气体的体积。

图1

(1)启动水泵，缓慢向压力罐中注入高为eq\f(h,2)的水，求此时活塞上升的高度h1；

(2)若缓慢将压力罐内注满水，整个过程中封闭气体吸收的热量为Q，求从开始注水到活塞恰好要运动的过程中，外界对封闭气体做的功W。

答案(1)eq\f(h,4)(2)－Q

解析(1)设活塞缓慢上升时，压力罐中封闭气体的压强为p，则pS＝mg＋p0S

其中mg＝eq\f(1,3)p0S

解得p＝eq\f(4,3)p0

由玻意耳定律得p0Sh＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)Sh＋Sh1))

解得h1＝eq\f(h,4)。

(2)活塞开始运动后，压力罐中封闭气体发生等压变化，由于温度保持不变，根据eq\f(pV,T)＝C，可知气体的体积不变，故而活塞开始运动后，外界对气体做功为0。从初始状态到活塞刚要运动的过程中，由于温度不变，则有ΔU＝0，根据ΔU＝W＋Q，解得W＝－Q。

2.航空母舰“福建舰”如图2甲所示，所配备的电磁弹射系统可简化为如图乙所示的模型，可额外为舰载机提供恒定的推力助其短距起飞。质量为M的某舰载机，若不启用电磁弹射系统，航母保持静止状态，舰载机靠自身发动机推力由静止匀加速滑跑距离为L时达到升空速度v，可以起飞。若启用电磁弹射系统，航母仍保持静止状态，该舰载机在自身发动机同样打开的情况下，又加载了质量为m的弹药，仅需滑跑eq\f(L,3)的距离即可起飞。已知舰载机所受阻力恒为自身发动机提供推力的20%，舰载机升空速度的平方与舰载机质量成正比。

图2

(1)若不启用电磁弹射系统，航母保持静止状态，求舰载机自身发动机为舰载机所提供的推力大小；

(2)若启用电磁弹射系统，航母仍保持静止状态，求电磁弹射系统为该舰载机所提供的推力大小。

答案(1)eq\f(5Mv2,8L)(2)eq\f(3（M＋m）2－M2,M)·eq\f(v2,2L)

解析(1)若不启用电磁弹射系统，航母保持静止状态，该舰载机由静止做匀加速运动直至起飞，由速度—位移关系式可得v2＝2aL

由牛顿第二定律得，舰载机所受合力为F合＝Ma

对舰载机受力分析，知F合＝F－f，f＝20%F

联立解得F＝eq\f(5Mv2,8L)。

(2)若启用电磁弹射系统，航母仍保持静止状态，该舰载机在自身发动机同样打开的情况下，又加载质量为m的弹药，该舰载机由静止匀加速运动直至起飞，由速度—位移关系式得

v′2＝2a′·eq\f(L,3)

由牛顿第二定律得

F－f＋F′＝(M＋m)a′，f＝20%F

由题意可知eq\f(v′2,v2)＝eq\f(m＋M,M)

联立解得F′＝eq\f(3（M＋m）2－M2,M)·eq\f(v2,2L)。

3.(2023·广东模拟预测)如图3所示，平行光滑金属导轨水平放置，间距L＝2m，导轨左端接一阻值为R＝1Ω的电阻，图中虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m＝1kg的金属棒垂直导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离为d＝0.5m。某时刻对金属棒施加一大小为F＝4N的向右的恒力，金属棒在磁场中运动s＝2m的距离后速度不再变化，金属棒与导轨的电阻忽略不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，求：

图3

(1)金属棒刚进入磁场瞬间，流过电阻的电流；

(2)金属棒匀速运动的速度；

(3)电阻上产生的焦耳热；

(4)感应电流的平均功率。

答案(1)2A(2)4m/s(3)2J(4)2W

解析(1)设金属棒刚进入磁场时速度为v0，

根据运动学公式知veq\o\al(2,0)＝2·eq\f(F,m)·d

解得v0＝2m/s

则流过电阻的电流为I0＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv0,R)＝2A。

(2)设金属棒匀速运动时速度为v，此时有F与安培力平衡，即

F＝BIL＝B·eq\f(BLv,R)·L

解得v＝4m/s。

(3)金属棒从静止到开始匀速运动的过程中

根据能量守恒定律有F(d＋s)＝eq\f(1,2)mv2＋Q

解得Q＝2J。

(4)金属棒从开始进入磁场到匀速过程中，对每小段时间Δt根据动量定理有

(F－BIL)·Δt＝m·Δv

即FΔt－BLIΔ