18-19 第3章 3.2 3.2.2　半角的正弦、余弦和正切.pdfVIP

半角的正弦、余弦和正切

学习目标：1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过

程．(一般)2.驾驭半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简洁

的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)

[自主预习·探新知]

半角公式

sin＝±，cos＝±，

tan＝±＝＝.

思索如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？

[提示](1)假如没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．

(2)若给出角α的详细范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再依据角

所在象限确定符号．

[基础自测]

1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)cos＝.()

(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.()

(3)若α是第一象限角，则tan＝.()

[解析](1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)

时，cos＝.

(2)√.当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般状况下不成立．

(3)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立．

[答案](1)×(2)√(3)√

2．下列各式与tanα相等的是()

【导学号】

A.B.

C.D.

D[＝＝＝|tanα|；

＝＝tan；

＝＝；

＝＝tanα.]

3．设α∈(π，2π)，则等于________

[解析]＝＝＝.

∵α∈(π，2π)，∴∈，∴sin0，故原式＝sin.

[答案]sin

[合作探究·攻重难]

化简问题

已知πα，求＋

的值

[思路探究]解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再依据的范围开方化筒．

[解]原式＝

＋

∵πα，∴，

∴cos0，sin0.

∴原式＝＋

＝－＋＝－cos.

[规律方法]要熟记一些可用公式的形式，如1＋cosα＝2sin2，1－cosα＝2cos2

，1±sinα＝2等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．

[跟踪训练]

1．已知θ2π，试化简：－.

[解]∵θ2π，∴π，

所以原式＝－

＝－

＝－－

＝－2sin.

求值问题

已知|cosθ|＝，且θ3π，求sin，cos，tan的值

[思路探究]―→

―→―→求