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【初中竞赛资料】专题:特殊与一般
专题09特殊与一般
——二次函数与二次方程
阅读与思考
2
二次函数的一般形式是yaxbxca0,从这个式子中可以看出,二次函数的解析式实际上
是关于x的二次三项式,若令y=0,则得ax2bxc0
这是一个关于x的一元二次方程,因此,二次函数与一元二次方程有着密切的联系,表现为:
1.当0时,方程有两个不相等实数根,抛物线与轴有两个不同的交点,设为
x
b24ac
xxxxAB
A(,0),B(,0),其中,是方程两相异实根,;
1212
a
2.当0时,方程有两个相等实数根,抛物线与轴只有一个交点;
x
3.当0时,方程没有实数根,抛物线与轴没有交点.
x
由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,所以,善于促成二次函数问题与二次方程问题相互
转化,是解相关问题的常用技巧.
例题与求解
【例1】(1)抛物线yax2bxc与轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若ABC是直角三角形,则
x
ac=.
(全国初中数学联赛试题)
21
(2)为使方程x23x1b有四个不同的实数根,则实数b的取值范围为.
3
解题思路:对于(1),ABC为直角三角形,则A,B两点在原点的两旁,运用根与系数关系及射影定
理解题,对于(2),作出函数图象,借助图象解题.
【例2】设一元二次方程x22kx6k0的根分别满足下列条件:①两根均大于1;②一根大
于1,另一根小于1;③两根均大于1且小于4.试求实数k的取值范围.
解题思路:因为根的表达式复杂,故应把原问题转化为二次函数问题来解决,作出函数图象,借助图
象找制约条件.
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【初中竞赛资料】专题:特殊与一般
2
【例3】如果抛物线yx2m1xm1与轴交于A,B两点,且A点在x轴的正半轴上,
x
B点在x轴的负半轴上,OA的长是a,OB的长是b,
(1)求m的取值范围;
(2)若a:b3:1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式;
(3)设(2)的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问:抛物线是否存在一点P,使得PAB面
积等于BCM的面积的8倍?若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由.
(南京市中考试题)
解题思路:由题设条件得相应二次方程两实根
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