【初中竞赛资料】专题：特殊与一般.pdf

【初中竞赛资料】专题：特殊与一般

专题09特殊与一般

——二次函数与二次方程

阅读与思考

2

二次函数的一般形式是yaxbxca0,从这个式子中可以看出,二次函数的解析式实际上

是关于x的二次三项式,若令y=0,则得ax2bxc0

这是一个关于x的一元二次方程,因此,二次函数与一元二次方程有着密切的联系,表现为：

1.当0时,方程有两个不相等实数根,抛物线与轴有两个不同的交点,设为

x

b24ac

xxxxAB

A(,0),B(,0),其中,是方程两相异实根,;

1212

a

2.当0时,方程有两个相等实数根,抛物线与轴只有一个交点;

x

3.当0时,方程没有实数根,抛物线与轴没有交点．

x

由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,所以,善于促成二次函数问题与二次方程问题相互

转化,是解相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】(1)抛物线yax2bxc与轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若ABC是直角三角形,则

x

ac=.

(全国初中数学联赛试题)

21

(2)为使方程x23x1b有四个不同的实数根,则实数b的取值范围为.

3

解题思路：对于(1),ABC为直角三角形,则A,B两点在原点的两旁,运用根与系数关系及射影定

理解题,对于(2),作出函数图象,借助图象解题．

【例2】设一元二次方程x22kx6k0的根分别满足下列条件：①两根均大于1;②一根大

于1,另一根小于1;③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．

解题思路：因为根的表达式复杂,故应把原问题转化为二次函数问题来解决,作出函数图象,借助图

象找制约条件．

第1页共10页

【初中竞赛资料】专题：特殊与一般

2

【例3】如果抛物线yx2m1xm1与轴交于A,B两点,且A点在x轴的正半轴上,

x

B点在x轴的负半轴上,OA的长是a,OB的长是b,

(1)求m的取值范围;

(2)若a:b3:1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式;

(3)设(2)的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问：抛物线是否存在一点P,使得PAB面

积等于BCM的面积的8倍?若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由．

(南京市中考试题)

解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根