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习题6-1
1.指出下列各微分方程的阶数:
(1)；一阶 (2)；二阶
(3)；三阶 (4).一阶
2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
;
解：由得代入方程得
故是方程的解.
;
解：
代入方程得.
故是方程的解.
;
解：
代入方程得.
故不是方程的解.
解：
代入方程得
故是方程的解.
3.在下列各题中，验证所给函数（隐函数）为所给微分方程的解:
证：方程两端对x求导：
得
代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.
证：方程两端对x求导：
(*)
得.
(*)式两端对x再求导得
将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
习题6-2
1.从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线:
(1)；
解：当时，y=5.故C=-25
故所求曲线为：
(2)(为常数)，.
解：
当x=0时，y=0故有.
又当x=0时，.故有.
故所求曲线为：.
2.求下列各微分方程的通解:
;
解：分离变量,得
积分得
得.
解：分离变量，得
积分得
得通解：
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为.
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为
;
解：
积分得
得通解为.
;
解：分离变量，得
积分得
即为通解.
.
解：分离变量，得
积分得
得通解为：.
3.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解：分离变量，得
积分得.
以代入上式得
故方程特解为.
.
解：分离变量，得
积分得
将代入上式得
故所求特解为.
4.求下列齐次方程的通解:
;
解：
令
原方程变为
两端积分得
即通解为：
;
解：
令，则
原方程变为
积分得
即方程通解为
解：
令，则
原方程变为
即
积分得
故方程通解为
;
解：
令,则
原方程变为
即
积分得
以代替u，并整理得方程通解为.
;
解：
令，则
原方程变为
分离变量,得
积分得
以代替u，并整理得方程通解为到
解：
即
令，则,
原方程可变为
即
分离变量，得
积分得.
即
以代入上式，得
即方程通解为.
5.求下列各齐次方程满足所给初始条件的特解:
;
解：
令，则得
分离变量，得
积分得
即
得方程通解为
以x=0，y=1代入上式得c=1.
故所求特解为.
.
解：设，则
原方程可变为
积分得.
得方程通解为
以x=1，y=2代入上式得c=e2.
故所求特解为.
6.利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解:
利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：
解：设，则原方程化为
令
代回并整理得
.
解：
作变量替换，令
原方程化为
令,则得
分离变量，得
积分得
即
代回并整理得
;
解：作变量替换则
原方程化为
代回并整理得
.
解：令则
原方程可化为
分离变量，得
积分得
故原方程通解为
7.求下列线性微分方程的通解:
;
解：由通解公式
；
解：方程可化为
由通解公式得
解：
;
解：
.
;
解：方程可化为
解：方程可化为
8.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解：
以
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