第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

PAGE1/NUMPAGES

PAGE1/NUMPAGES15

第16讲导数与函数的极值、最值（精讲）

题型目录一览

①求函数的极值与极值点

②极值、极值点中的参数问题

③求函数的最值

④最值中的参数问题

⑤函数极值、最值的综合应用

★【文末附录-导数与函数的极值、最值思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1．函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

2．函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【常用结论】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（3）对于任意的，总存在，使得；

（4）对于任意的，总存在，使得；

（5）若存在，对于任意的，使得；

（6）若存在，对于任意的，使得；

（7）对于任意的，使得；

（8）对于任意的，使得；

（9）若存在，总存在，使得

二、题型分类精讲（10）若存在，总存在，使得．

二、题型分类精讲

题型一求函数的极值与极值点

策略方法利用导数研究函数极值问题的一般流程

【典例1】已知函数，求函数的极值.

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（????）

A．

B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值

C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值

D．函数的最小值为

2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（????）

A．1 B．2 C． D．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（????）

A． B． C．b D．4

4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（????）

A．-3 B．1 C．27 D．-5

5．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（????）

A．的极大值为 B．的极小值为

C．的单调减区间为 D．的值域为

7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．曲线在处的切线与直线垂直

B．在上单调递增

C．的极小值为

D．在上的最小值为

三、填空题

8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．

10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：

①；②；③；

④；⑤．

其中正确结论的序号是__．

四、解答题

11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若，求函数在区间上的值域；

(2)求函数的极值．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)设a＝0．

①求曲线在点处的切线方程．

②试问有极大值还是极小值？并说明理由．

(2