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筝形的一个性质及其应用

有不少几何图形及其结论实际上具有一般性，把这些性质进行拓展、推广、

应用不仅可以激发学生主动探索的欲望，培养学生学习数学的兴趣，而且还可以

提高学生类比联想的分析处理问题的能力。

让学生学会如何从数学角度运用所学的知识和方法去解决问题,在解决问题

过程中运用多种思想方法,多角度,多方位地思考问题,并进行知识的再创造，从而

完善和改进了认知结构,本文从一个简单图形的性质的探究品尝了这种解决问题

的乐趣.

一.筝形的一个重要性质

命题:如图1,P是△ABC内一点，

求证：∠BPC=∠A+∠B+∠C.

二.命题的多种证法

证明:方法1.连结AP,并延长到E.如图2,

∵∠BPE=∠BAE+∠B，

∠CDE=∠CAE+∠C，

∴∠BPE+∠CDE=∠BAE+∠B+∠CAE+∠C，

∴∠BPC=∠BAC+∠B+∠C.

方法2.延长BP交AC于E，如图3,

∵∠BPC=∠1+∠C，∠1=∠A+∠B，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C.

方法3.连结BC，如图4，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

即∠A+∠ABP+∠ACP+∠1+∠2=180°，

∴∠1+∠2=180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

=180°-[180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）]

=∠A+∠ABP+∠ACP.

方法4.连结AP，如图5，

∵∠1=180°-（∠BAP+∠B），

∠2=180°-（∠CAP+∠C），

∴∠1+∠2=360°-（∠BAP+∠CAP+∠B+∠C）

=360°-（∠BAC+∠B+∠C）.

∴∠BPC=360°-(∠1+∠2)=360°-[360°-（∠BAC+∠B+∠C）]=∠BAC+∠

B+∠C.

方法5.过P任作一直线交AB于点E,交AC于点F,如图6，∵∠1=∠AEF-

∠B,

∠2=∠AFE-∠C,

∴∠1+∠2=∠AEF+∠AFE-∠B-∠C.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

=180°-(∠AEF+∠AFE)+∠B+∠C

=∠A+∠B+∠C.

方法6.过P作PE∥AC,交AB于点E,如图7，

∴∠1=∠A,∠2=∠C.∵∠3=∠1+∠B,

∴∠3=∠A+∠B.∴∠BPC=∠3+∠2=∠A+∠B+∠C.

三、命题的拓展

1.变点P的位置

①若P在边AB上时,如图8,由外角的性质可知∠BPC=∠A+∠C,由于此时

∠B=0°,故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可见此情形是命题特殊情形.

②若P在BC边上时,如图9,此时

∠BPC=180°,∠A+∠B+∠C=180°

故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可见此情形也是命题特殊情形.

2.变∠A的大小

①∠A的两边,拉开成平行线,如图10,由平行

线的性质，可知∠BPC=∠B+∠C，此时可以认

为∠A=0°，从而∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然

成立.可见此情形也是命题特殊情形.

②∠A的两边进一步拉开,如图11,

此时∠BPC=∠ABC+∠A′CB-∠α,

若把∠α看作一个负的∠A,则也可以认为原结论成立.

3.变∠P的个数

①把上述问题中的∠P变成两个角∠P1和∠P2时,得图12,连结AD,由命题

结论,不难证明∠P1+∠P2=∠A+∠B+∠C+∠D；

②同样由上述方法不难得到,当∠P变成n个角∠P1、∠P2、…、∠Pn时，

∠P1+∠P2+…+∠Pn=∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠D