【初中竞赛资料】2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案.doc

【初中竞赛资料】2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

【初中竞赛资料】2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分．以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分)

1．已知实数x,y满足：eq\f(4,x4)－eq\f(2,x2)＝3,y4＋y2＝3,则eq\f(4,x4)＋y4的值为 ()

(A)7 (B)eq\f(1＋eq\r(13),2) (C)eq\f(7＋eq\r(13),2) (D)5

2．把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 ()

(A)eq\f(5,12) (B)eq\f(4,9) (C)eq\f(17,36) (D)eq\f(1,2)

3．有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有 ()

(A)6条 (B)8条 (C)10条 (D)12

4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB＝AB＝a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为 ()

(A)eq\f(eq\r(5),2)a (B)1 (C)eq\f(eq\r(3),2) (D)a

5．将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有 ()

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6．对于实数u,v,定义一种运算*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*(a*x)＝－eq\f(1,4)有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______．

7．小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟．

8．如图,在△ABC中,AB＝7,AC＝11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______．

9．△ABC中,AB＝7,BC＝8,CA＝9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为______．

10．关于x,y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

11．在直角坐标系xOy中,一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值．

12．是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根?

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的

△ABC?证明你的结论．

14．从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值．

简答：

选择题ACBBD;

填空题6.a＞0或a＜－1;7.4;8.9;9.eq\f(16,3);10.x＝48,x＝160,

y＝32;y＝32．

三．解答题：11.(1)k＝eq\f(2b－b2,2(b＋3)),b＞2;(2)当b＝2＋eq\r(10),k＝－1时,△OAB面积的最小值为7＋2eq\r(10);12.存在满足题设条件的质数p,q.当p＝2,q＝5时,方程2x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq\f(1,2),x2＝2.它们都是有理数;13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6,b＝4,c＝5,且∠A＝2∠B,证明略.14.n的最小值是5,证明略．