2025版新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.4平面向量数乘.docVIP

6.3.4平面对量数乘运算的坐标表示

【学习目标】(1)驾驭平面对量数乘运算的坐标表示．(2)理解用坐标表示的平面对量共线的条件．(3)能依据平面对量的坐标，推断向量是否共线．

题型1平面对量数乘运算的坐标表示

【问题探究1】我们知道3a＝a＋a＋a以及向量加、减的坐标运算．

依据上面的提示，若已知向量a＝(x，y)，你能得出2a，3a的坐标吗？

例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满意a＝mb＋nc的实数m，n.

题后师说

平面对量数乘坐标运算的策略

跟踪训练1(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝()

A．(1，－2)B．(1，2)

C．(5，6)D．(2，0)

(2)已知向量AB＝(2，4)，AC＝(0，2)，则12

A．(－2，－2)B．(2，2)

C．(1，1)D．(－1，－1)

题型2平面对量共线的坐标表示

【问题探究2】假如向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，依据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么依据向量数乘运算的坐标表示，你能发觉a与b的坐标之间的关系吗？

例2(1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(0，2)，e2＝(32

C．e1＝(3，5)，e2＝(5，3)

D．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)

(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．

一题多变本例(2)中条件不变，若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求实数m的值．

题后师说

利用向量共线的坐标表示求参数的策略

跟踪训练2(1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()

A．－9B．9

C．3D．－3

(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量OA＝(1，1)，OB＝(2，－3)，OC＝(－6，29)，试推断A，B，C三点是否共线，写出理由．

题型3共线向量与线段分点坐标的计算

【问题探究3】结合课本6.3.4例9，如图所示，设P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满意P1P＝λPP2，如何求点P的坐标？当λ

例3

如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且CGGD＝2，求点G

学霸笔记：(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再依据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要留意分点的位置状况．

(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．

跟踪训练3已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且P1P＝2PP

随堂练习

1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝()

A．(1，－1)B．(－1，1)

C．(－4，6)D．(4，－6)

2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b()

A．平行且同向B．平行且反向

C．垂直D．不垂直也不平行

3．已知A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，则x的值为()

A．－7B．－8C．－9D．－10

4．若AB＝(3，－6)，B(－2，3)，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为________．

课堂小结

1.平面对量数乘运算的坐标表示．

2．利用共线向量定理的坐标表示向量共线及点共线问题．

3．有向线段的定比分点坐标公式的推导及中点坐标公式．

6．3.4平面对量数乘运算的坐标表示

问题探究1提示：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)；

3a＝2a＋a＝(2x，2y)＋(x，y)＝(3x，3y)．

例1解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a，

∴-6m+n=5，

∴实数m的值为－1，n的值为－1.

跟踪训练1解析：(1)b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.

(2)12BC＝12

答案：(1)A(2)D

问题探究2提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.

例2解析：(1)∵