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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第06讲-二次函数

第六讲二次函数

二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数,也是初中数学的主要

内容之一,它在中学数学中起着承上启下的作用,它与一元二次方程、一

元二次不等式知识的综合运用,是初中代数的重点和难点之一．另外,二

次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通

过对二次函数的学习,使我们能进一步理解函数思想和函数方法,提高分

析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函

数的关键．

1．二次函数的图像及其性质

2

例1(1)设抛物线y=2x,把它向右平移p个单位,或向下移q个单位,都

能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点,求p,q的值．

2

(2)把抛物线y=2x向左平移p个单位,向上平移q个单位,则得到的

抛物线经过点(1,3)与(4,9),求p,q的值．

2

(3)把抛物线y=ax＋bx＋c向左平移三个单位,向下平移两个单位

析

式．

2

解(1)抛物线y=2x向右平移p个单位后,得到的抛物线为y=2(x-p)

2．于是方程

2

2(x-p)=x-4

有两个相同的根,即方程

22

2x-(4p+1)x+2p＋4=0

的判别式

22

△=(4p+1)-4·2·(2p＋4)=0,

22

抛物线y=2x向下平移q个单位,得到抛物线y=2x-q．于是方程

2

2x-q=x-4

有两个相同的根,即

△=1-4·2(4-q)=0,

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2

(2)把y=2x向左平移p个单位,向上平移q个单位,得到的抛物线为

2

y=2(x+p)＋q．于是,由题设得

解得p=-2,q=1,即抛物线向右平移了两个单位,向上平移了一个单位．

解得h=3,k=2．原二次函数为

2

说明将抛物线y=ax＋bx＋c向右平移p个单位,得到的抛物线是

2

y=a(x-p)＋b(x-p)＋c;向左平移p个单位,得到的抛物线是y=a(x＋p)

22

＋b(x＋p)＋c;向上平移q个单位,得到y=ax＋bx＋c＋q;向下平移q个

2

单位,得到y=ax＋bx＋c-q．

2

例2已知抛物线y=ax＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．

(1)确定a,b,c的符号;

(2)求a＋b＋c的取值范围．

解(1)由于抛物线开口向上,所以a＞0．又抛物线经过点(0,-1),

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